Теорема 6

Пусть система множеств образует разбиение множества . Отношение существует такое , что является отношением эквивалентности на . Причем элементы разбиения являются классом эквивалентности.

Доказательство

Проверим выполнение всех трех аксиом – рефлексивности, симметричности, транзитивности.

Рефлексивность. Пусть , тогда для некоторого . Тогда можно записать: , то есть .

Симметричность. Пусть , то есть существует , такой, что , тогда и , значит, .

Транзитивность. Пусть и , значит, существуют такие и , что и , но тогда , то есть . По определению разбиения , значит, , то есть .

Теорема доказана.

§7. Отношение порядка Определение 1

Отношение называется отношением порядка на множестве , если выполнены следующие условия:

а) для любого (рефлексивность);

б) для любых , если и , то (транзитивность);

в) для любых , если и , то (антисимметричность).

Если  – отношение частичного порядка, то вместо принято писать . Тогда условия а), б), в) примут вид:

а) ;

б) и влечет ;

в) и влечет .

Если на множестве задано отношение частичного порядка, то оно называется частично упорядоченным множеством и обозначается .

Примеры

1. На множестве задан естественный порядок, который вы изучали еще в школе. Мы его так и будем называть – естественный порядок – и обозначать, как обычно, .

2. Пусть  – произвольное множество и  – множество всех подмножеств множества . На определено отношение порядка следующим условием: тогда и только тогда, когда . Очевидным образом выполняются следующие условия:

а) ;

б) ;

в) .

То есть отношение включения подмножеств есть отношение частичного порядка. Этот пример имеет принципиальное отличие от естественных порядков, рассмотренных в первом примере. В первом примере любые два числа сравнимы по величине, то есть имеет место: для любых .

В примере 2 ситуация иная. Пусть . Мы не можем утверждать, что , но не можем также утверждать, что , то есть и являются несравнимыми. Наличие в некоторых упорядоченных множествах несравнимых элементов и дало основание внести термин частично упорядоченного множества.

3. Пусть

.

Определим: тогда и только тогда, когда .

Проверьте самостоятельно, что это отношение есть отношение частичного порядка, и что в этом упорядоченном множестве есть попарно несравнимые элементы (наборы).

4. На одном и том же множестве можно задать разные отношения порядка. Например, на множестве кроме естественного порядка можно задать следующее отношение:

в том и только в том случае, когда делится на , то есть существует , такое, что . Докажем, что введенное отношение на есть отношение частичного порядка.

а) , так как делится на ;

б) Пусть и , тогда и , где , следовательно, , то есть делится на и ;

в) Пусть и , тогда и . Отсюда следует, что , поэтому , а произведение двух натуральных чисел равно 1 только в том случае, когда , отсюда , то есть . Итак все три свойства – рефлексивность, транзитивность, антисимметричность – частичного порядка выполняются. Значит, отношение делимости на является отношением частичного порядка. Это отношение отличается от естественного порядка. Например, , но неверно, что , так как 5 не делится на 3.

5. Конечные упорядоченные множества удобно изображать с помощью схем. Проиллюстрируем это двумя примерами.

Пусть .

Если на А рассмотреть естественный порядок, то получим схему:

.

Мы проводим стрелку от a к b, если . Стрелку же от 2 к 4 мы не проводим потому, что существование ее гарантируется стрелками от 2 к 3, от 3 к 4 и транзитивностью.

Теперь на том же множестве А рассмотрим отношение делимости, тогда получим схему:

Получим совершенно различные схемы на одном и том же множестве А.

Наряду с обычным частичным порядком изучаются строгие частично упорядоченные множества.