10 Билет

Формализация понятия алгоритма. Машина Поста. Машина Поста-Успенского. Универсальная машина Поста.

Машина Поста менее популярна, хотя она значительно проще машины Тьюринга. С ее помощью можно вести обучение первым навыкам составления программ для ЭВМ. Абстрактная машина Поста представляет собой бесконечную ленту, разделенную на одинаковые клетки, каждая из которых может быть либо пустой, либо заполненной меткой «V», и головки, которая может перемещаться вдоль ленты на одну клетку вправо или влево, наносить в клетку ленты метку. В машине Поста информация располагается линейно и читается подряд.

11 Билет

Формализация понятия алгоритма. Нормальный алгоритм (алгорифм) Маркова. Нормальный алгорифм Маркова в алфавите и над алфавитом. Нормально-вычислимые функции. Примеры нормальных алгорифмов (тождественный нормальный алгорифм, нормальный алгорифм левого присоединения, нормальный алгорифм правого присоединения, нормальный алгорифм удвоения, некоторые арифметические алгорифмы). Основная гипотеза теории алгоритмов в форме Маркова. Эквивалентность определений алгоритма в виде машины Тьюринга и нормального алгоритма Маркова. Универсальный алгоритм Маркова.

Нормальный алгоритм Маркова (НАМ) — алгоритм, который задаётся системой подстановок, указывающих какие замены символов необходимо производить и в каком порядке эти подстановки должны следовать.

Понятие нормального алгоритма введено А.А. Марковым в конце 1940-х – начале 1950-х гг. XX в.

Гипотеза. Для нахождения значений функции, заданной в некотором алфавите, тогда и только тогда существует какой-нибудь алгоритм, когда функция нормально-вычислима.

Эквивалентность определений. Понятие нормально вычислимой функции равносильно понятию функции, вычислимой по Тьюрингу, а вместе с ним и понятию частично частично рекурсивной функции.

Всякая функция, вычислимая по Тьюрингу, будет также и нормально вычислимой.

Всякая нормально вычислимая функция вычислима по Тьюрингу.

Следующие классы функций (заданных на натуральных числах и принимающих натуральные значения) совпадают:

А) класс всех функций, вычислимых по Тьюрингу;

Б) класс всех частично рекурсивных функций;

В) класс всех нормально вычислимых функций.

Нормальным алгоритмом в алфавите А называется следующий алгоритм построения последовательности слов: в качестве начального слова берется само слово Р, и к нему применяют по порядку каждую пару из схемы подстановки. Если подстановка возможна, то ее осуществляют и начинают подстановки сначала. Если процесс обрывается (нет ни одной допустимой подстановки) на слове Q или приходит в конечную подстановку, то данный нормальный алгоритм преобразовал Р в Q. Если есть задача: от Р перейти к Q и доказано, что нельзя построить нормальную схему, то имеет место алгоритмически неразрешимая задача. Можно ли любой алгоритм представить в виде нормального алгоритма Маркова? На этот вопрос дается ответ в виде так называемого тезиса Маркова: всякий алгоритм в алфавите А представим в виде нормального алгоритма в этом же алфавите. Это тезис потому, что его невозможно доказать, т.к. в нем фигурируют с одной стороны, интуитивное расплывчатое понятие "всякий алгоритм", а с другой стороны - точное понятие "нормальный алгоритм".

НАМ можно рассматривать как универсальную форму задания любого алгоритма. Универсальность нормальных алгоритмов декларируется принципом нормализации: для любого алгоритма в произвольном конечном алфавите А можно построить эквивалентный ему нормальный алгоритм над алфавитом А.

Если алгоритм N задан в некотором расширенном алфавите А, то говорят, что N – нормальный алгоритм над алфавитом А. Тот или иной алгоритм называется нормализуемым, если можно построить эквивалентный ему нормальный алгоритм, и не нормализуемым в противном случае. Иначе говоря, все алгоритмы нормализуемы.

Если А и В два алфавита, причем АÍВ, то алфавит В называется расширением алфавита А.

Функция f, заданная на некотором множестве слов алфавита А, называется нормально вычислимой, если найдется такое расширение В данного алфавита А (АÍВ) и такой нормальный алгоритм в В, что каждое слово R (в алфавите А) из области определения функции f этот алгоритм перерабатывает в слово f(R).

Класс нормальных алгоритмов Маркова и класс алгоритмов представленных в форме машин Тьюринга (машин Поста) совпадают.