2. Операция ветвления

Пусть M1, M2 и M3 - МТ, имеющие одинаковый внешний алфавит A={a0,a1,...,ai,...,aj,...,ap} и, соответственно, множества состояний: Q1={q0,q1,...,qn}, Q2={q0',q1',...,qm'}, Q3={q0",q1",...,ql"}.

Результатом операции ветвления над МТ M1, M2 и M3 называется МТ M, программа которой получается из программ машин M1,M2 и M3 следующим образом: записана программа машины M1, затем приписаны программы машины M2 и M3. Если в заключительном состоянии q1 машины M1 наблюдается символ ai, то управление передается на машину M2, т.е. символ q1 заменяется символом q0' и начинает работать машина M2. Если же в заключительном состоянии q1 машины M1 наблюдается символ aj, то управление передается на машину M3, т.е. символ q1 заменяется символом q0" и начинает работать машина M3. Все остальные символы в программах машин M1 и M2 остаются неизменными.

3. Операция зацикливания

Пусть M - МТ с алфавитом A={a0,a1,...,ap} и множеством состояний Q={q0,q1,...,qn}.

Результатом операции зацикливания будем называть машину Тьюринга, обозначаемую (i=0,2,3,...,n; j=0,1,2,...,p; s=0,2,3,...,n),

7 Билет

Формализация понятия алгоритма. Машина Тьюринга. Функция, вычислимая по Тьюрингу. Функция, правильно-вычислимая по Тьюрингу. Доказательство существования функций, невычислимых по Тьюрингу. Пример невычислимой по Тьюрингу функции. Совпадение класса функций, правильно-вычислимых по Тьюрингу, и класса частично рекурсивных функций.

Частичная функция f называется правильно вычислимой по Тьюрингу, если существует МТ, которая правильно вычисляет f.

Функция называется вычислимой по Тьюрингу, если существует МТ, вычисляющая её, т.е. такая МТ, которая вычисляет её значения для тех наборов значений аргументов, для которых функция определена, и работающая вечно, если функция для данного набора значений аргументов не определена.

Тезис Черча. Класс всех частично вычислимых функций над Z₊ совпадает с классом всех частично рекурсивных функций.

Тезис Тьюринга. Для нахождения значений функции, заданной в некотором алфавите, тогда и только тогда существует какой-нибудь алгоритм, когда функция является вычислимой по Тьюрингу, т.е. когда она может вычисляться на подходящей машине Тьюринга.

Тезис Чёрча-Тьюринга. Любая интуитивно вычислимая функция является частично вычислимой, или, что то же самое, может быть вычислена некоторой машиной Тьюринга.

9 Билет

Формализация понятия алгоритма. Определение машин Шенфилда и функций, вычислимых на ней.

Каждая частично рекурсивная функция вычислима на машине Шенфилда.

Каждая функция, вычислимая на машине Шенфилда, вычислима на машине Тьюринга.

Машина Шенфилда состоит из бесконечного списка пронумерованных регистров: R1, R2, R3, …, каждый из которых может содержать произвольное натуральное число. Машина работает на программе, в ходе выполнения которой содержимое регистров может меняться. Программа представляет собой пронумерованный список команд.

В ходе своей работы машина выполняет последовательную команду за командой, меняя при этом состояния регистров. На каждом шаге исполняется та команда, на которую в данный момент передано управление. Перед началом работы управление передаётся на команду с номером 1. Если в ходе работы управление передаётся на несуществующую команду программы, то выполнение программы прекращается и машина останавливается.