1.3. Цифровые сигналы

Операция квантования непрерывной величины состоит в том, что континуум ее возможных значений заменяется счетным числом значений. Существующие устройства квантования обычно осуществляют равномерное квантование сигналов, при котором границы интервалов квантования размещаются равномерно в заданном диапазоне значений сигнала, а представители уровней квантования располагаются посередине между этими границами. В случае равномерной процедуры количество порогов квантования оценивается величиной

,

где и - максимальная и минимальная амплитуды дискретизируемого сигнала. Пороги квантования разбивают интервал на (r + 1) интервалов – уровней квантования.

Отсчет непрерывного процесса в АЦП преобразуется в двоичный код из m разрядов, каждый из которых представлен нулем или единицей. Число разрядов определяется числом уровней квантования

.

При когерентной обработке, когда требуется осуществлять цифровую фильтрацию сигналов, когерентную компенсацию помех, число уровней квантования нужно увеличивать, чтобы уменьшить по возможности искажения (из-за квантования) сигналов и помех. На практике часто выбирают , где - дисперсия собственного шума приемника. При этом, число порогов квантования равно , где - динамический диапазон аналоговой части приемника. Отсюда получаем требуемое число разрядов кода и соответственно число разрядов АЦП:

.

Системы счисления в системах цифровой обработки сигналов. Цифровая система обработки является конечной машиной, работающая с конечным множеством чисел. Невозможно использовать это множество для выполнения арифметических операций в поле вещественных чисел (R, +, ), поскольку R - бесконечное множество, большинство элементов которого непредставимо в вычислительной машине.

На практике в процессе обработки осуществляют аппроксимацию арифметики в поле (R,+,). Часто для такой аппроксимации используется множество F так называемых чисел с плавающей точкой (или машинных чисел). Множество F является частью множества вещественных чисел со следующими свойствами.

1. F – конечное подмножество множества рациональных чисел Q .

2. Элементы F распределены неравномерно на вещественной прямой. Интервал между двумя “соседними” машинными числами очень мал вблизи нуля, а при удалении от него постепенно увеличивается. Интервал между максимально возможным машинным числом и соседним с ним очень велик.

3. Система (F, +, ) не будет полем (главным образом из-за того, что нет замкнутости относительно обеих указанных бинарных операций.

Практичный выход из возникающих трудностей состоит в представлении вещественного числа x ближайшим к нему машинным числом ; тем самым вводя ошибку округления . Из-за отсутствия замкнутости ошибки округления возникают также в результате арифметических операций над элементами F. Например, если и - два соседних элемента F , то число уже не принадлежит F. Его следует заменить на - элемент в F, ближайший к z. В этом примере совпадает либо с , либо с .

Представление целых чисел в системе счисления по смешанным основаниям.

Рассмотрим упорядоченный набор из n целых чисел

,

компоненты которого r₁, r₂,…,r_n называются основаниями. Пусть N есть произведение оснований, т.е. . Известно, что каждое целое число s, такое, что можно представить в виде

,

где d₀, d₁,…,d_n-1 являются цифрами стандартного представления для смешанного основания и удовлетворяют неравенствам i = 0,1,…, n-1. Упорядоченный набор цифр d₀, d₁,…,d_n-1 для данного s записывается в виде кода . Например, если  = [2, 3, 5], то N = 30, Следовательно, число 29 можно записать в виде 29 = 1+2(2)+4(23) и представление числа по смешанному основанию  имеет вид (29)_ =(1, 2, 4).

Стандартной системой счисления со смешанным основанием  называется множество всевозможных наборов цифр типа для целых чисел s[0, N). В частном случае r₁ = r₂ = … = r_n приходим к известному представлению числа в позиционной системе с фиксированным основанием.