3.4.2. Преобразование Уолша-Адамара

Для вектора отсчетов , можно определить преобразование Уолша-Адамара (ПУ-А) следующим образом

,

- прямое преобразование Уолша-Адамара.

• ,

• 

• обратное преобразование Уолша-Адамара (ОПУ-А).

Свойства ПУ-А

1. Линейность

Если есть последовательность и , то

2. Инвариантность к диадному сдвигу

Определим для вектора диадный сдвиг . Оператор диадного сдвига переставляет отсчеты исходной последовательности по правилу: .

Спектра Уолша –Адамара диадного сдвига запишется как

.

Из полученного выражения видно, что диадный сдвиг не меняет модуль спектрального коэффициента, а изменяется только знак коэффициента. Доказательство основывается на свойстве функции Адамара:

3. Теорема о свертке и корреляции

Диадная свертка или диадная корреляция определяется выражением:

или

Заметим, что понятие диадной корреляции совпадает с корреляционной характеристикой булевых функций, что позволяет использовать преобразования Уолша при анализе и синтезе логических функций.

Определение. Булева функция f(v₁,…,v_l) называется максимально-нелинейной, если все коэффициенты ее преобразования Уолша-Адамара равны . Например, функция f(v₁, v₂, v₃,,v₄) = v₁ v₂ + v₃ v₄ – относится к классу максимально-нелинейных.

Энергетический спектр сигнала в базисе функций Уолша. Упорядочение функций по Уолшу имеет определенный физический смысл. На рис. 10 изображены восемь функций Уолша и пунктирными линиями показаны для сравнения тригонометрические функции базиса Фурье.

В связи со сходством сходство между функциями, упорядоченными по Уолшу и тригонометрическими функциями для первых из них иногда применяют обозначения и , называя их соответственно синусный Уолша и косинусный Уолша. Значения l отражают величину так называемой частости, которая определяется по количеству пересечения с линией нулевого уровня в заданном интервале значений . Если не имеется пересечений, то считается, что  = 0. При четном числе w пересечений принимается  = w/2, при нечетном числе принимается  = (w+1)/2. Отсюда следует, что коэффициенты спектра в базисе функций, упорядоченных по Уолша

, k = 0 ,…, N - 1,

несут информацию о частостях обрабатываемого сигнала.

Можно определить энергетический спектр по Уолшу P_W( l ) как

Рис. 10

Рис. 11

3.4.3. Быстрое преобразование Уолша (БПУ)

В основе лежит БПУ лежит свойство расщепления матрицы Адамара.

.

Быстрое преобразование Уолша аналогично, рассмотренным ранее быстрым преобразованиям Фурье. Однако БПУ не требует применения умножения на поворачивающие множители. БПУ так же производится с прореживанием по времени или с прореживанием по частоте. Так, при прореживании по частоте исходная последовательность также разделяется сначала на две половины, потом каждая из половинок тоже делится пополам и т.д., до получения преобразования размера два.

Для БПУ справедливы графы БПФ с отсутствием множителя .Например, граф БПУ с прореживанием по времени для N = 8 имеет вид

Быстрое преобразование Уолша обладает минимальной вычислительной сложностью, которая оценивается в операций сложения.

Многоканальная корреляционная обработка псевдослучайных последовательностей. Рассмотрим возможность применения БПУ для многоканальной корреляционной обработки кодовой псевдослучайной последовательности. В задачах радиолокации и систем передачи информации часто возникает необходимость оценить задержку (фазу) периодически повторяющейся псевдослучайной последовательности, принимаемой на фоне аддитивного шума. Цифровая система обработки в этом случае должна вычислять все значения взаимнокорреляционной функции сигнала и его опорной копии, т.е. поддерживать многоканальный корреляционный прием сигнала. При больших длинах сигнала число каналов становится значительным, и прямые методы вычисления корреляционной функции потребуют больших вычислительных затрат (~N). Покажем, что, используя связь структуры псевдослучайного кода с матрицами Уолша-Адамара, вычислительную сложность можно значительно понизить. Действительно, если отсчеты пседослучайной последовательности длины N = 2^m - 1 переставить с помощью оператора P_M, то любой циклический сдвиг сигнала отобразиться в усеченную на первый символ функцию Уолша. Если на месте усеченного символа искусственно разместить ноль, то мы получим последовательность из N=2^m отсчетов, размерность которой совпадает с размерности быстрого преобразования Уолша. Значения спектра Уолша-Адамара такой последовательности будут полностью эквивалентны значениям корреляционной функции обрабатываемого сигнала.

Пример. Пусть принимается кодовая последовательность вида

.

Автокорреляционная функция такого сигнала вычисляется по формуле

и принимает значения R(0) = N, R(l  0) = -1.

Перестановка последовательности по ранее рассмотренному правилу дает

P_M : {s[n]} = -1,1-1,1,-1,1,-1.

Искусственное размещение нуля приводит размер обрабатываемого сигнала к восьми отсчетам:

{x[n]}=0, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1.

Спектр Уолш-Адамара такой последовательности равен

Координаты максимального спектрального коэффициента БПУ несут информацию о величине задержки (циклического сдвига) начальной фазы кодовой последовательности.