3.4. Преобразования Уолша - Адамара

Преобразованию Фурье в базисе гармонических функций присущ определенный недостаток. Даже при наличии алгоритмов БПФ сохраняется необходимость в выполнении большого количества умножений. Значительное упрощение можно достичь, если в качестве базисных функций использовать кусочно-постоянные, меандровые функции. Одними из таких функций являются функции Уолша - Адамара.

3.4.1. Функции Уолша - Адамара

Исторически сложилось так, что в основе функций Уолша - Адамара лежат ортогональные бинарные матрицы Адамара H_N, которые определяются по простому правилу:

,

, и т.д.

Матрицы Адамара можно получить другим путем, используя для этого операцию кронекеровского произведения матриц:

; ,

где - оператор кронекеровского произведения матриц.

Рассматривая элемента матриц Адамара как отсчеты непрерывных меандровых сигналов, можно получить в функции Уолша - Адамара .

Матрица дискретных функций Уолша - Адамара , t = nt примет вид

=

Введем двоичное представление номера функции

и двоичное представление номера отсчета

.

Тогда функции Уолша - Адамара можно определить как

где - скалярное произведение векторов кодов номеров функции и отсчета, соответственно.

Например, пусть , , тогда и элемент матрица с координатами (3,2) равен had(2,3)= .

В зависимости от упорядочивания номера функций различают следующие системы ортогональных функций: система Адамара , система Пэли , система Уолша . Система функций Пэли имеет двоичную инверсию кода номера функции k. Номера функций Уолша изменяются по закону двоичной инверсии кода Грея. Например, для N = 8 имеем

Свойства функций Уолша-Адамара.

1. Ортогональность

Например, функции

и

ортогональны. Действительно

Функции Адамара-Уолша это равновесные функции с равным числом 1 и-1.

2. Симметричность

, ,

3. Мультипликативность

- по номеру функций:

;

-по номеру отсчета:

.

Любая функция Уолша может быть получена путем произведения меандровых функций Радемахера rad(k,n), которые являются базисные функциями для системы Уолша-Адамара. Так, для N=8, n=0,1,…,N-1, имеем следующие функции Радемахера:

rad(0,n)= 1 1 1 1 1 1 1 1; rad(1,n)=1 1 1 1-1-1-1-1; rad(2,n)=1 1 –1-1 1 1-1-1 и rad(3,n)=1-1 1-1 1-1 1-1.

Соответственно

Had(1,n)=rad(3,n); had(3,n)=rad(3,n)rad(2,n) и т.д.

Связь матриц Адамара с конечными полями Галуа GF(q). Усеченная матрица Адамара изоморфна с точностью до перестановки матрице циклических сдвигов псевдослучайной последовательности.

Определим усеченную матрицу Адамара ,размером (N-1)(N-1) полученную из исходной матрицы путем усечения на первый столбец:

.

Определим псевдослучайную линейную рекуррентную последователь­ность {s[n]; n = 0, 1,…, N - 2}, полученную из элементов конечного поля Галуа GF(q^m) { по правилу

,

где след элемента в поле , -примитивный элемент поля .

Например, для поля , построенному по полиному ,

получаем следующую последовательность:

.

Матрица циклических сдвигов последовательности имеет вид

,

знак «точка» - соответствует начальной фазе (задержки) сигнала.

Определим перестановку символов псевдослучайной последовательности как

.

Для рассматриваемого примера перестановка имеет вид

.

Применение такой перестановки к строкам матрицы-циркулянт псевдослучайной последовательности, отображает последнюю в усеченную матрицу Адамара. Для рассматриваемого примера имеем

.

Нетрудно заметить, что если к полученной матрице добавить единичные верхнюю строку и левый столбец, то получим полную матрицу Адамара с переставленными строками. Если мы имеем дело с многоуровневыми сигналами (кодами), тогда подобная перестановка справедлива для функций Виленкина-Крестенсона.