3.2.4. Бпф для n-простое число

При решении ряда прикладных задач обработки сигнала требуется вычислить ДПФ заданного размера, но N – невозможно разложить на множители. В этом случае для повышения эффективности алгоритма обработки можно связь ДЭФ и ДПФ с теорией чисел.

С войство периодичности экспоненциальных функций с точки зрения модульных операций можно представить следующим образом

Р ис. 9

. (64)

Для любого целого числа a принимающего значения из множества (1,2,…, N-1), N-простое число, справедлива теорема Ферма .

Тогда . Отсюда следует периодичность элемента с периодом N-1:

.

Простое целое число N позволяет определить конечное поле GF(N). Определим в этом поле примитивный первообразный элемент . Тогда, для любого целого m, множество чисел является перестановкой множества (1,2,…, N-1).

Рассмотрим ДПФ

Выделим отдельно нулевой спектральный коэффициент . Остальные коэффициенты преобразования представим в виде

. (65)

Представим фазовые поворачивающие множители W^f в виде множества {f}, отражающего значения степени поворачивающего множителя. Матрица множества индексов поворачивающих множителей [f] является матрицей циркулянтом. Тогда ДПФ последовательности запишется как

.

Определим перестановку

. (66)

Применим такую перестановку к элементам последовательности обрабатываемых отсчетов , образуя новую последовательность

.

Вычислим ДПФ последовательности h

. (67)

Полученный результат можно интерпретировать как циклическую свертку двух последовательностей

. (68)

Используя теорему о свертки последнее выражение можно записать как

H= ОДПФ_N-1{ДПФ_N-1{h} ДПФ_N-1{g}}. (69)

Пример. Пусть N=5, . Определим первообразный элемент . Из соотношения следует, что перестановка имеет вид

Последовательности h и g соответственно равны

, .

ДПФ последовательности h представляется как

В данном примере для вычисления циклической свертки можно использовать БПФ для N=4. Полный спектр ДПФ определится как

Схема вычисление ДПФ через свертку для простого N представлена на рис. 9 и носит название схемы Рейдера.

3.2.5. Дпф на основе алгоритма лчм-z фильтрации

Покажем возможность вычисления ДПФ цифрового сигнала через операцию свертки, используя свойства подобия дискретных экспоненциальных функций и ЛЧМ сигналов. Рассмотрим выражение

.

Преобразуем произведение входных и выходных индексов поворачивающего множителя следующим образом

. (70)

Подставим в формулу для ДПФ полученное выражение

. (71)

В полученном выражении сумма может быть вычислена через операцию свертки

. (72)

Соответственно выражение для полного спектра с использованием оператора свертки имеет вид

. (73)

Из формулы видно, что значения спектральных коэффициентов можно найти, рассчитав взвешенную свертку последовательностей b₁,b₂. Данную операцию можно эффективно провести, используя алгоритм быстрой свертки на основе БПФ.

Часто такой алгоритм называют алгоритмом ЛЧМ-Z преобразования, подразумевая, что с его помощью можно эффективно вычислить Z-преобразование последовательности {x[n]}. Действительно, пусть N-точечная последовательность {x[n]} имеет образ Z-преобразования

По определению ДПФ заданной последовательности связано с Z выражением

. (74)

Зададим контур преобразования более общего вида

, (75)

где M-произвольное целое число (необязательно равное N), а A и W- произвольные комплексные числа. Обозначим через X_k искомые значения Z-преобразования при z = z_k

.

Подстановка в эту формулу выражения для произведения nk дает

или

, где . (76)

Взвешенная свертка может быть рассчитана с использованием БПФ. Основными операциями при этом являются три (иногда два) БПФ, поэтому сложность вычислений будет иметь логарифмическую зависимость.