5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
Таким образом можно описать алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.
Он состоит в следующем:
записываем матрицу оператора A в исходном базисе;
записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;
находим собственный базис оператора (если он существует);
записываем матрицу C, столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса);
по формуле C-1AC находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.
#29-31
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Бесконечно малая величина
Последовательность
an называется бесконечно
малой, если
.
Например, последовательность чисел
—
бесконечно малая.
Функция называется
бесконечно малой в окрестности точки
x0, если
.
Функция называется
бесконечно малой на бесконечности,
если
либо
.
Также бесконечно
малой является функция, представляющая
собой разность функции и её предела, то
есть если
,
то f(x) − a = α(x),
.
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых
ниже формулах бесконечность справа от
равенства подразумевается определённого
знака (либо «плюс», либо «минус»). То
есть, например, функция xsin x,
неограниченная с обеих сторон, не
является бесконечно большой при
.
Последовательность
an называется бесконечно
большой, если
.
Функция называется
бесконечно большой в окрестности
точки x0, если
.
Функция называется
бесконечно большой на бесконечности,
если
либо
.
Свойства бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то
— бесконечно
большая последовательность.
Пусть
и
бесконечно
большие величины при
,
т.е.
и
.
1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:
.
(4.20)2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:
.
(4.21)3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел
,
есть величина бесконечно большая:
(4.22)Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.
Пусть
и
,
тогда
и
.Символически можно записать:
и
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х а. Будем обозначать эти функции , и соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение.
Если
,
то функция
называется бесконечно
малой более высокого порядка,
чем функция .
Определение.
Если
,
то
и
называются бесконечно
малыми одного порядка.
Определение.
Если
то
функции
и
называются эквивалентными
бесконечно малыми.
Записывают
~ .
Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.
т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение.
Бесконечно малая функция
называется бесконечно
малой порядка k
относительно
бесконечно малой функции ,
если предел
конечен
и отличен от нуля.
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать
между собой.
Например, если отношение
не
имеет предела, то функции несравнимы.