- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
- •Сравнение бесконечно малых функций.
- •Эквивалентные величины Определение
- •Теорема
- •Локальные экстремумы
Краткий конспект лекции 13
Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
5.3. Сопряженный оператор
5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица 5.3.2. Самосопряженный оператор 5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора 5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
Напомним, что в евклидовом пространстве определено скалярное произведение векторов
Определение. Если существует такой оператор B, что для любых и из евклидова пространства E справедливо , то оператор B называется сопряженным оператором к оператору A и обозначается A*:
Теорема. Если A — линейный оператор в евклидовом пространстве E и A — его матрица в некотором ортонормированном базисе в E, то у оператора есть единственный сопряженный оператор, причем матрица сопряженного оператора в том же базисе — это матрица AT.
Теорема доказана на лекции.
Пример. Рассмотрим оператор U поворота пространства R2 на угол относительно начала координат против часовой стрелки:
Т.е. оператор, сопряженный оператору поворота пространства R2 на угол относительно начала координат против часовой стрелки — оператор поворота пространства R2 на угол - относительно начала координат против часовой стрелки.
Матрицы операторов поворота на угол и угол - имеют, соответственно, вид:
Видно, что
Нетрудно доказать (на лекции доказано) следующие свойства сопряженного оператора:
что сопряженный к линейному оператру — линейный оператор;
характеристические многочлены операторов и
совпадают.
5.3.2. Самосопряженный оператор
Определение. Если линейный оператор A, действующий в евклидовом пространсте E, таков, что для любых и из E справедливо , то оператор A называется самосопряженным оператором.
Пример. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 на подпространство R2 параллельно вектору : .
Как показано выше, матрица оператора P2 в естественном ортонормированном базисе
Имеет вид
Тогда
т.е. — оператор P2 — самосопряженный оператор.
Видно, что матрица P2 оператора P2 — симметричная матрица.
Нетрудно доказать следующие свойства самосопряженного оператора:
сумма самосопряженных операторов — самосопряженный оператор;
если оператор A самосопряженный оператор, то оператор — тоже самосопряженный оператор ( — действительное число).
5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
Можно показать (на лекции не доказывается), что у самосопряженного оператора существует собственный ортонормированный базис.
Поскольку A=A*, то матрица самосопряженного оператора — симметричная матрица. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму.
Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы.
Если нужно записать выражение для приведения матрицы к этой диагональной форме, то нужно еще найти собственные векторы матрицы, записать матрицу C перехода к собственному базису (матрицу, столбцами которой являются координаты собственных векторов оператора), найти обратную к ней матрицу С-1 и тогда — равенство, связывающее диагональну форму матрицы оператора в собственном базисе с матрицей A оператора в заданном базисе.