Часть 1 №1

Машинное представление числовых данных в ЭВМ.

Для представления информации в памяти ЭВМ (как числовой, так и не числовой) используется двоичный способ кодирования. Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (1 байт). Каждый байт имеет свой номер (его называют адресом). Наибольшую последовательность бит, которую ЭВМ может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом. Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32 битам и т.д. Все числовые переводятся в двоичную систему счисления и записываются в определённом формате в основном в одном машинном слове. Для кодирования символов достаточно одного байта. При этом можно представить 255 символов (с десятичными кодами от 0 до 255).

Машинное представление целых чисел.

Система целых чисел, применяемая при ручных вычислениях, предполагается бесконечной и дискретной. Это означает, что не существует никаких ограничений на диапазон используемых чисел. Реализовать бесконечную систему целых чисел в технических устройствах невозможно. Во всех компьютерах размеры ячеек памяти фиксированы, что ограничивает систему представимых чисел. Для целых чисел ограничения касаются диапазона представления чисел, т.е. система машинных чисел оказывается конечной. В машинной арифметике целых чисел различают знаковую и беззнаковую форму представления целых чисел.

Представление чисел со знаком. Двоично-дополнительный код.

В машинном представлении чисел со знаком используется следующий подход:

Числа положительные записываются, так же как и без знаков, для записи отрицательных чисел используется двоично-дополнительный код. При этом в обоих случаях старший разряд является знаковым. 0= ‘+’, 1= ‘-’;

Правила построения двоично-дополнительного кода для целого отрицательного числа:

1)модуль отрицательного числа записать в двоичном виде 2)инвертировать его 3)прибавить к инверсному коду единицу.

Проблема представления целых чисел. Ее решение.

Арифметическое переполнение — специфичная для компьютерной арифметики ситуация, когда при арифметическом действии результат становится больше максимально возможного значения для переменной, использующейся для хранения результата.

В этом случае, если при сложении 2х целых чисел без знака произошел перенос из старшего разряда, то результат операции считается неверным, если же произошел перенос в старший разряд или же переноса не было, то результат будет верным.

Если при сложении 2х целых чисел со знаком произошел перенос в старший разряд, либо из старшего разряда, при чем только один, то результат операции будет неверным, если же при сложении со знаком переносов не было, либо имели место оба переноса, то результат считается правильным.

Машинное представление вещественных чисел. Мантисса и порядок.

В памяти компьютера вещественные числа представлены в форме с плавающей точкой, в двоичной системе счисления. Десятичное число D в этой форме записи имеет вид D=+- m*10ⁿ, где m и n – соответственно мантисса числа и его порядок. Например, число 357.5 можно записать в виде:3575*10^-1 , 0.3575*10³. Последняя запись – нормализованная форма числа с плавающей точкой. Обычная же запись числа в виде 357.5 называется формой записи с фиксированной точкой. Такое представление чисел в компьютерах используется только на этапах их ввода или вывода, в то время как хранение и обработка вещественных чисел осуществляется именно в форме с плавающей точкой.

Машинная точность

Конечное количество разрядов мантиссы приводит к тому, что при вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округления.

Так, например, если при 6 десятичных разрядах к числу 0.214724 прибавить число, меньшее по модулю половины последнего разряда (т.е. меньшее по модулю 0.0000005), в результате получится то же самое число 0.214724. Величина ошибки округления определяется количеством разрядов мантиссы. При округлении по дополнению (которое, как правило, и реализуется в компьютерах) максимальная относительная погрешность округления равна и называется машинной точностью.

Верные цифры.

Пусть а - точное значение,

- приближенное значение некоторой величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.