26. Структурные схемы ких-фильтров (прямая, каскадная, с частотной выборкой, схемы фильтров с линейной фазой, на основе метода быстрой свертки).

Рассмотрим далее основные структурные схемы нерекурсивных фильтров. В случае физически реализуемых систем их передаточная функция имеет вид:

(2.19)

Это означает, что если длина импульсной характеристики равна N отсчетам, то H(z) является полиномом по z^-1 степени N-1. Поэтому H_H(z) имеет N-1 полюс в точке z=0 и N-1 нулей, которые могут быть в любом месте на ограниченной z-плоскости. Точно так же, как и рекурсивные фильтры, нерекурсивные могут иметь множество форм построения. Наиболее широко известна и применима прямая форма, которая приведена на рисунке 3.11.

Легко видеть, что данная структура идентична структуре

рисунка 3.8, когда все коэффициенты b_k=0. Таким образом, прямая форма построения нерекурсивных фильтров является частным случаем

прямой формы рекурсивных фильтров. Из-за сходства этой структуры с линией задержки с отводами ее часто называют фильтром с многоотводной линией задержки(отсюда и иногда применяемый термин «трансверсальный» фильтр). Аппаратурная реализация таких структур оказывается довольно простой. Для нее требуется только один умножитель, один накапливающий сумматор и два блока циркулирующей памяти на регистрах сдвига.

При построении фильтров, не имеющих полюсов, часто используется последовательная структура. В этом случае передаточная функция H(z) представляется в виде произведения передаточных функций систем первого и второго порядка, т.е.

(2.20) Здесь (система второго порядка) или (система первого порядка),

N_M – целая часть .

На рисунке 3.12 приведена структурная схема цепи, соответствующая (3.77), в предположении, что передаточная функция представлена в виде произведения сомножителей второго порядка.

Для построения нерекурсивных фильтров довольно часто применяют еще несколько структур, которые не имеют аналогов с рекурсивными фильтрами общего вида, содержащих и нули, и

полюсы. Наиболее распространенная из них основана на методе быстрой свертки, когда свертка вычисляется с помощью обратного преобразования Фурье от произведения преобразований Фурье входной последовательности и импульсной характеристики системы (рис.14).

Применив для представления полиномиальной передаточной функции (2.20) известные интерполяционные формулы, можно получить другие структурные схемы, реализующие эту функцию. Например, при использовании интерполяционной формулы Лагранжа будем иметь следующее выражение

(2.21)

где

(2.22)

причем массив {z_n}, образован N произвольными точками на z-плоскости, в которых вычислены значения H(z_n)

Z-преобразования (2.20), используемые при расчете коэффициентов (2.22). Из (2.21) следует, что полученная структура состоит из последовательно соединенных блоков первого порядка (имеющих нули в точках z=z_n, n=0,1,…, N-1), последовательно к которым подключена группа из N параллельно соединенных блоков первого порядка (они имеют полюсы в точках z=z_n, n=0,1,…, N-1). Структурная схема, реализующая выражение (2.21), представлена на рисунке 3.13

Данная структура позволяет реализовать любые

Z-преобразования вида (2.20). В этом случае каждый из полюсов параллельно соединенных блоков структуры компенсирует один из нулей последовательно соединенных блоков, что дает эквивалентный фильтр с N-1 нулями. Значение H(z) в каждой из точек z_n равно заданной величине H(z_n). Так как H(z) является многочленом (N-1)-й степени, то он полностью определяется своими значениями в N различных точках. Следовательно, выражения (2.20) и (2.22) полностью эквивалентны. Однако, с точки зрения числа элементов задержки структура Лагранжа не является канонической, так как в ней используется 2N элементов задержки (по N в параллельной и последовательной частях структуры). Тем не менее данная и аналогичные структуры широко применяются для решения многих практических задач. Дополнительные преимущества структуры выявляются при изучении чувствительности ее характеристик к ограничению точности представления коэффициентов фильтра.

Важным является частный случай структуры Лагранжа, когда последовательность z_n состоит из точек, равномерно распределенных по единичной окружности, т.е.

(2.23)

При этом член правой части (2.20), содержащий произведения, будет иметь вид

(2.24)

а равенство (3.78) превращается в

(2.25)

Равенство (2.25) получается путем подстановки условия (2.23) в формулу (2.22). Получаемая при этом структурная схема фильтра имеет передаточную функцию вида

. (2.26)

Она представлена на рисунке 3.14 и носит название структуры на основе частотной выборки, поскольку коэффициенты фильтра равны отсчетам передаточной функции фильтра , взятым в N точках, равно мерно распределенных на единичной окружности.

В структуре с частотной выборкой при выполнении

в параллельной части арифметических операций с конечной точностью полностью скомпенсировать нули, сгруппированные в (2.26) в члене (1-Z^-N), с помощью полюсов не удается. В итоге, фильтр будет иметь и нули, и полюсы, а длина его импульсной характеристики станет неограниченной. Тем не менее, данная структура позволяет весьма эффективно создавать фильтры, у которых большинство коэффициентов для умножителей равны нулю. Такие цепи можно просто отбросить. Это обстоятельство позволяет, например, для получения одного выходного отсчета обойтись небольшим числом умножений.

Одной из наиболее важных особенностей нерекурсивных систем является то, что они могут иметь строго линейную фазовую характеристику. Импульсная характеристика для физически реализуемых нерекурсивных систем с линейной фазой обладает свойством симметрии

h(n) = h (N-1-n) (2.27)

В |2| показано, что передаточная функция таких фильтров для N четного определяется выражением

(2.28)

Если N нечетное, то

(2.29)

Полагая , можно получить выражения для частотных характеристик:

для N четного

и

для N нечетного

В обоих случаях суммы в скобках являются действительными и учитывают линейный фазовый сдвиг, соответствующий задержке отсчетов(следует отметить, что для N четного не является целым).

Выражения (2.28) и (2.29) подразумевают прямую форму построения системы, которая требует на (N четное) или на

(N-нечетное) умножений больше по сравнению с N умножениями, необходимыми в общем случае, см. рисунке 3.12. Эти структуры представлены на рисунке 3.15а и 3.15б.

Существуют и другие структуры нерекурсивных фильтров, основанных, например, на интерполяционных формулах Ньютона и Эрмита, разложении H(z) в ряд Тейлора. Однако, эти структуры еще мало изучены и практически не применяются.