Ответы_и_решения_к_занятию_2-6.pdf_(568_Кб)
.pdf
Аудиторные задачи Задача 1, решение
Из уравнения поверхности очевидно, что рассеиваться на ней будут только частицы, при-
цельные расстояния которых (совпадающие в данном случае с координатой в уравнении поверхности) не превышают b. Частицы, у которых > b, пролетают мимо без изменения направления движения. Поэтому далее предполагается, что у всех падающих частиц
0 b.
Так как частица испытывает силовое воздействие только при контакте с поверхностью, то до и после соударения с ней она движется прямолинейно и равномерно. Поскольку поверхность гладкая, трение в момент контакта отсутствует и сила действует на частицу только по направлению нормали к поверхности. Отсюда следует, что тангенциальная составляющая импульса частицы при столкновении не изменяется. Вместе с ней остается неизменной и тангенциальная составляющая скорости частицы v = v0 (штрихом отмечаем величины после столкновения). Так как удар о поверхность упругий, то кинетическая энергия частицы не изменяется, не изменяется, следовательно, и квадрат ее скорости v2 = v2 +vn2 = v02 +vn02 = v02. Из этого и предыдущего равенств видно, что модуль нормальной составляющей скорости в результате столкновения не изменяется. Следовательно, нормальная составляющая скорости просто меняет знак на противоположный и траектория симметрична относительно нормали к поверхности в точке контакта. Поэтому угол падения частицы равен углу отражения (см. рис. 1) 1.
Угол рассеяния, т.е. угол между начальным и конечным направлениями движения частицы, равен = 2 . Так как, с другой стороны, + = 2 , то = 2 – касательная к поверхности в точке удара является биссектрисой угла рассеяния. Вспоминая геометрический смысл производной как тангенса угла наклона касательной, запишем
tg |
|
|
= |
d |
|
= |
b |
|
cos |
z |
: |
(1) |
|||||
|
|
dz |
|
a |
|||||||||||||
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||
Выражая cos |
z |
|
из уравнения поверхности, получим |
|
|||||||||||||
a |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
tg2 |
|
= (b2 2)=a2; |
|||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
а также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 = b2 a2 tg2 |
|
|
|
(3) |
|||||||||||||
|
|
: |
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
Из уравнения (2) находим пределы, в которых изменяется угол рассеяния. Максимальному прицельному расстоянию max = b соответствует минимальный угол рассеяния min = 0 (частица летит по касательной к поверхности и не меняет направления движения). Максималь-
= 2arc tg ab (безупречно
1Для получения этого вывода, кажущегося очевидным, одинаково важны упругость удара и гладкость поверхности.
2
ли это утверждение?). Уравнение (3) позволяет заключить, что прицельное расстояние является однозначной 2 функцией угла рассеяния .
Поскольку рассеяние происходит на поверхности вращения, а падающие частицы движутся вдоль оси симметрии z, то вся задача о рассеянии пучка обладает аксиальной (осевой) симметрией относительно z. Вместе с однозначностью функции ( ) это позволяет воспользоваться для расчета дифференциального эффективного сечения рассеяния формулами
d(; d) = 2 ( )jd jd = jd2 jd ; d d
Подставляя выражение (3) во второе из соотношений (4), получим
sin
d(; d) = a2 cos3 2 d :
2
(4)
(5)
Полученная функция d(; d), отвечая на вопрос о числе частиц, рассеянных в заданный интервал плоского угла d в зависимости от угла рассеяния , не дает, однако, ясного представления о рассеянном пучке. Например, d(; d) ! 0 при ! 0 и можно подумать, что в направлении = 0 частицы не рассеиваются вовсе. Чтобы получить наглядное представление о рассеянном пучке, вообразим себе сферу большого радиуса и будем выбирать на ней малые участки равной площади, расположенные в разных местах. Если число частиц, пролетающих в единицу времени через эти участки будет одинаковым, то распределение частиц по углам рассеяния равномерно, рассеяние изотропно. В противном случае рассеяние анизотропно, распределение по углам неравномерное. Но одинаковым малым участкам на поверхности сферы отвечают одинаковые малые телесные углы, под которыми видны эти участки из центра сферы. Это означает, что как в исходных формулах (4), так и в конкретном результате (5) для данной задачи нужно перейти от элементарного плоского угла d к
соответствующему ему элементарному телесному углу (рис. 2). Связь между ними дается формулой d = 2 sin d. Умножая числитель и знаменатель в (5) на cos 2 и используя формулы приведения, получим
d(; d ) = |
a2 |
|
d |
|
|
: |
(6) |
|
|
|
|
||||
4 |
cos4 |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассеяние сильно анизотропно (при равномерном распределении d( ) = const d – ко-
эффициент перед d не зависит от ), наименьшее значение d( )=d = a2 достигается
4
при = 0, но это значение отлично от нуля и не зависит от – рассеяние на малые углы
изотропно.
В ответах к задачам о рассеянии нужно указывать не только выражения для дифференциального эффективного сечения рассеяния, но и интервалы углов, для которых справед-
2Как следует поступать в случае, когда это условие не выполняется, вы увидите в следующей задаче.
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ливы эти выражения. Для нашей задачи, следовательно, получаем: |
||||||||
d ( )=d = |
8 |
|
a2 |
b |
; |
|||
4 cos4 при 0 2arc tg a |
||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
2 |
|
b |
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
0 при > 2arc tg a: |
|
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
:
Задача 2, решение
Рассмотрим сначала возможные траектории частиц в таком силовом поле (рис. 3, 4). Как
вне, так и внутри горба потенциальная энергия частицы от координат не зависит, поэтому сила grad U, действующая там на частицу, равна нулю, и частица движется равномерно и прямолинейно. Очевидно, что частицы, у которых прицельное расстояние > a, в данном поле никакого воздействия не испытывают вообще и, следовательно, не рассеиваются. Поэтому интерес представляют частицы с прицельными расстояниями
0 a: |
(8) |
Такие частицы испытывают силовое воздействие непосредственно на самой поверхности горба. Так как рассматриваемое поле – центральное (U = U(r)), то действующая на частицу сила направлена по радиусу. Поскольку потенциальная энергия снаружи меньше, чем внутри, то grad U направлен по радиусу внутрь горба, а сила – наружу. Таким образом, на поверхности сферы частица испытывает толчок по радиусу наружу. Поэтому она может либо отразиться от горба, либо проникнуть внутрь.
Выясним условия для проникновения частицы внутрь горба. Поскольку поле стационарно, то полная энергия частицы является интегралом движения. Пусть v1 – скорость частицы снаружи горба, а v2 – ее скорость внутри. Закон сохранения энергии означает, что
mv2 |
|
mv2 |
+ V . Отсюда |
|
|||||
E = |
|
|
1 |
= |
2 |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
v1 |
= r |
|
|
n < 1: |
(9) |
||
|
|
1 E |
|||||||
|
|
v2 |
|
|
|
|
V |
|
|
Если E < V , то корень оказывается мнимым, но скорость частицы мнимой быть не может. Следовательно, для проникновения частицы внутрь горба необходимо, что ее энергия была больше ”высоты” горба V .
Предположим, что это необходимое условие выполнено и частица проникла внутрь. Изза толчка, направленного наружу, ее траектория отклонится от прямой BC вверх и частица станет двигаться по хорде BA. Можно сказать, что траектория частицы преломляется. При этом угол падения частицы меньше угла преломления . Достигнув точки A, частица испытает новый толчок наружу и выйдет за пределы горба. В центральном поле, как известно, траектория частицы является плоской кривой, симметричной относительно прямой, соединяющей центр поля с перигелием (если он существует). В данном случае перигелий находится в точке P – основании перпендикуляра, опущенного из центра O на хорду BA;
4
траектория должна быть симметрична относительно прямой OP . Отсюда следует, что угол, под которым частица вылетает из сферы по отношению к радиусу в точке A равен углу падения , а треугольник ACB – равнобедренный. Угол рассеяния является внешним углом треугольника ACB, следовательно
= 2( ): |
(10) |
Связь между углами и , можно найти, привлекая закон сохранения момента импульса, выполняющийся в любом центральном поле. В точке B имеем m(a + 0)v1 sin = m(a
0)v2 sin (равенство моментов импульса непосредственно снаружи и внутри сферы радиуса a), откуда следует закон преломления
|
sin |
= |
v2 |
= n: |
(11) |
||
|
|
|
|||||
|
sin |
|
v1 |
|
|||
Представим его в виде |
|
||||||
sin = |
sin |
: |
(12) |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
||
Поскольку n < 1, то существует такой угол m, для которого sin m = n. Из предыдущего равенства тогда следует, что sin m = 1, т.е. m = =2 и частица, падающая на сферу под углом m, внутрь горба уже не попадет. В силу (10) и (12), углы рассеяния частиц в результате преломления находятся в диапазоне
0 < 2 m: |
(13) |
При углах падения > m частица отражается от поверхности сферы. (Аналогом какого оптического эффекта является описанное поведение частицы?) Следовательно, чтобы частица могла проникнуть внутрь горба и преломиться, должны выполняться 2 условия:
E > V и 0 < m = arc sin n. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то частицы отражаются от потенциального горба.
Предполагая, что условие E > V выполнено, рассмотрим траектории отражающихся частиц. Угол падения для них находится в интервале m = arc sin n < =2. Их траектории целиком располагаются снаружи горба, имея с ним лишь одну общую точку падения
B (рис. 4). Так как силовое поле снаружи отсутствует (U = const; gradU = 0), то траектория представляет собой два прямых луча, сходящихся в вершине B. Эта точка является перигелием для такой траектории, которая должна быть, следовательно, симметрична относительно прямой OB. Иначе говоря, угол отражения частицы от сферы должен быть равен углу падения (этот вывод опирается на механику, а не на оптику!). Для угла рассеяния получаем тогда
= 2 : |
(14) |
Когда угол падения для отражающихся частиц меняется от m + 0 до =2, угол рассеяния меняется от 2 m до 0. Сравнивая с (13), видим, что в результате отражения частицы рассеиваются в тот же интервал углов, что и при преломлении.
5
Таким образом, при E > V имеется два разных канала рассеяния в один и тот же интервал углов 3. Поскольку между углом падения и прицельным расстоянием имеется очевидное из рисунков соотношение
= a sin ; (15)
то в один и тот же интервал углов 0 < 2 m рассеиваются частицы, имеющие прицельные расстояния из двух разных диапазонов 0 < an и an < a – зависимость между и оказывается двузначной. В соответствии с общим правилом нахождения дифференциального эффективного сечения рассеяния в подобных случаях нужно разделить многозначную функцию ( ) на однозначные ветви, для каждой из них найти парциальное сечение рассеяния, а затем просуммировать эти парциальные сечения рассеяния в области перекрытия углов рассеяния. В нашем случае это означает, что нужно отдельно рассчитать d для преломляющихся и отражающихся частиц и сложить полученные результаты. Соответствующие парциальные сечения будем отмечать индексами ”пр” и ”от”.
При расчете сечения рассеяния нужно установить связь между прицельным расстоянием и углом рассеяния. Рассмотрим вначале преломляющиеся частицы. Для них имеем следующие соотношения:
|
|
|
|
|
sin = a |
; sin = |
|
n |
= an; |
cos = r |
1 a2 |
; |
cos = r |
1 a2n2 |
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos 2 = cos( ) = cos cos + sin sin = r |
|
|
|
r |
|
|
+ a2n: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 a2n2 |
1 a2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Избавляясь от иррациональностей, после простых преобразований получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a n sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
= |
|
|
2 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||||
|
1 + n2 2n cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отсюда, после перехода к телесному углу d , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a2n2 |
|
(1 n cos |
|
|
)(n cos |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
d пр = |
|
|
2 |
2 |
d : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 cos |
|
|
|
|
(1 + n |
|
2n cos |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Для отражающихся частиц соотношения менее громоздкие: = a sin = a cos |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
|||||
d от = |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– за счет отражения рассеяние изотропно. Окончательно, распределение частиц по углам
рассеяния описывается формулой: |
|
|
|
|
d ( ) = |
0 при m < < : |
|
||
|
d пр + d от при |
0 |
|
< m = 2 m |
3При E < V все частицы отражаются от горба.
6
Какие замечания относительно связи между и (после формулы (16) и перед формулой (18)) следовало бы сделать?
Почему при получении формулы (16) вычислялся косинус, а не синус угла 2 ?
Задача 3. См. файл "Дополнения к ответам 2-6.doc"
Домашнее задание
Задача 4, уровни А и B. См. файл "Дополнения к ответам 2-6.doc"
Задача 5, уровень А. См. файл "Дополнения к ответам 2-6.doc"
Задача 5, уровень В. См. файл "Дополнения к ответам 2-6.doc"