11. Общая характеристика дискретного преобразования Фурье. Задачи, решаемые с помощью дпф. Дискретный ряд Фурье.

Как показывает опыт, оптимальные характеристики цифровых систем и устройств, ориентированных на обработку сигналов, определяются двумя главными факторами: качеством используемых в задачах обработки вычислительных методов и алгоритмов и качеством их отображения на архитектуру соответствующих аппаратно-программных средств.

Среди ряда вычислительных методов важное место занимают методы обработки на основе дискретных преобразований Фурье. Универсальность этих методов объясняется тем, что в них используются такие свойства преобразований, как ортогональность и полнота системы базисных функций, линейность и обратимость, существование равенства Парсеваля, инвариантность спектров к сдвигам, а рациональность этих методов – возможностью реализации на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье.

Задачи, решаемые с помощью ДПФ

Операция	Задачи из области использования
Свёртка в частотной области	Определение выходного сигнала системы, цифровая фильтрация, идентификация систем, прогнозирова­ние, моделирование
Корреляционная функция (КФ)	Выявление детерминированных (периодических) сиг­налов в зашумлённом сигнале, распознавание клас­сов логических функций и их свойств, сравнение эталона с изображением
Взаимокорреляционная функция (ВКФ)	Определение задержки и тракта прохождения сиг­нала, выявление случайного сигнала на фоне шумов
Энергетический спектр	Вычисление КФ, определение вклада сигнала в сме­си частот, построение спектрограмм, вычисление АЧХ системы
Взаимный энергетический спектр	Вычисление ВКФ, определение частотной характеристики системы, определение задержки сигнала как функции частоты, нахождение функции коге­рентности, линейное прогнозирование, синтез и ана­лиз оптимальных фильтров с заданным критерием точности

Преобразование Фурье, например, играет важную роль при статистическом анализе случайных сигналов, распознавании образов, в обработке изображений, исследовании физики плазмы и полупроводниковых материалов, микроволновой акустике, сейсмологии, океанологии, радиолокации и медицинских исследованиях.

Дискретный ряд Фурье

Рассмотрим периодическую последовательность с периодом N, т. е. такую, что

(1.94)

где r – любое целое число.

Как и непрерывные периодические сигналы, такие последовательности можно представить рядом Фурье, состоящим из сумм комплексных экспотенциальных последовательностей, т. е. экспонент, частоты которых кратны основной частоте (2/N):

(1.95)

где k – целое число.

При этом выражение

(1.96)

называют дискретным рядом Фурье (ДРФ).

Как видно, в отличие от непрерывных периодических сигналов, для представления которых в виде ряда Фурье требуется бесконечно много комплексных экспонент, в ряде Фурье для N-периодического дискретного сигнала участвует только N таких последовательностей. Это является следствием того, что комплексные экспоненты из равенства (1.95) удовлетворяют тождествам: и т. д., поскольку для любых целых чисел k и n имеют место равенства:

(1.97)

Множитель 1/N введен для удобства и не влияет на характер представления.

Чтобы найти коэффициенты ряда Фурье последовательности воспользуемся попарной ортогональностью комплексных экспонент. Для этого умножим обе части равенства (1.96) на и просуммируем результат по n от 0 до N – 1. Получим

(1.98)

Учитывая далее ортогональность комплексных экспонент, которая означает, что

(1.99)

Выражение (1.98) можно представить в виде:

(1.100)

Отсюда следует, что коэффициент ряда (1.96) получаются из последовательности по следующей формуле

(1.101)

Следует отметить, что последовательность также периодической с периодом N, так как для любого целого k имеет место следующее:

(1.102)

Коэффициенты удобнее рассматривать как бесконечную периодическую последовательность, отсчеты которой определяются формулой (1.101), так как в этом случае сохраняется дуальность между временным и частотным представлением периодических последовательностей рядом Фурье формулы (1.96) и (1.010) составляют пару анализа-синтеза и называются представлением периодической последовательности в виде ДРФ.

Для удобства введем обозначение

(1.103)

Тогда пара выражений, определяющая ДРФ, принимает следующий вид:

(1.104)