Вопрос 22. Полярная система координат.

Состоит их точки О(полюс) и исходящего из него луча ОЕ(полярный курс). Пусть М-производная точка плоскости, -расстояние точки М от О, ϕ-угол, на коэф. которого нужно поверн. полярн. ось.

Установим связь между полярными координатами точки М( ;у) и (х;у).

При этом будем предполагать, что начало координат нах-ся в полюсе, а полож. Ось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть М имеет прямоугольн. коорд. ху М(ху) и поляр. коорд. М( ; ϕ)

Из чертежа:

ормулы (1) выражают прямоугол. Коорд. Через полярн.

Или выраж. пол. коорд. через тр-гольн. форм. 1

=√x₂²+y₂² tg ϕ= (7)

Заметим, что tg ϕ определяет два значения половины угла ϕ, т.к. ϕ меняется от 0 до ∏. Из этих 2-х значений … правило, которое выполняет равенство (1)

Вопрос 23. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение F(x;y)=0, называется уравнение линейной L, заданной в системе координат. Если ему удовл-т координаты изображаемой точки, лежащей на линии L и не удовлетворяют координаты точки не лежащей на этой линии. Линия L может опред. ур-м вида F( ϕ)=0. ϕ- полярные координаты точки.

1=

Пусть прямая пересекает ось ОУ. В точке В с координатами 0 и b B(0;b) и образует с осью ОХ угол : 0< <∏/2

Возьмем на прямой произвольную точку М с координатами (х;у), тогда tg -угол наклона прямой tg (1)

Введем угловой коэффициент k= tg

k= => y=kx+b (2)

Справедливо при условии ∏/2< <∏ ур-е прямой с углов. коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи :

1.b=0 => y=kx-проход ч/з начало координат и образующей

При k= tg >0-острый угол с ОХ

При k<0- тупой угол

y=x-биссектриса 1-го и 3-го коорд. углов

y=-x-биссектриса 2-го и 4-го координатных углов

2.Если =∏/2, то прямая перпендикулярна оси ОХ и k= tg -не сущ-т, т.е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента.

3.Если =0, то k=tg0=0. Отсюда y=b-прямая параллельная оси OX.

Если прямая отсекает от OX, то ее уравнение будет x=a. А уравнение OY=X=0

Вопрос 24. Уравнение прямой , проходящей через данную точку в заданном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

1)Пусть прямая проходит M1(x1;y1) и образует с осью OX угол x≠

Т.к. М1 лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют ур-ю

y₁= kx₁+b (3)

Вычитая (3) из (2) y=kx+b получаем уравнение искомой прямой

y-y1 =k(x-x1) (4)

Если прямая проход. М1 перпендикулярна ОХ, то ее углов. коэф-т равен бесконечности, и ее уравнение имеет вид x-x₁=0

2) Пусть даны точки М1 и М2

Запишем уравнение М1М2 в виде , где k-пост. Неизвестная углового коэф-та.

Т.к. прямая М1М2 проходит ч/з М1 ее координаты уд-т ур-ю(4)

y2-y1=k(x2-x1)

Отсюда вместо k подставим в 4 получим

y-y1= (x-x1)

Если y1≠y2, то ур-е можно переписать

(5)

Если y1=y2, то ур-е искомой прямой имеет вид:

y1=y2 => y=y1, в этом случае прямая параллельна ОХ

x1=x2, то прямая , проходящей точки имеет вид x1=x

Вопрос 25. Угол между прямыми . Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

1. y=k1x+b1

y=k2x+b2, где k1=tg 1, k2=tg

Из геомет. рассмотр.

y= 2- 1 , tgϕ=tg( 2- 1)= или tg = (6)

Формула (6) определяет один из углов между прямыми, а другой угол равен ∏-ϕ

2.Условия параллельности и перпендикулярности .

Если прямы L1 и L2-параллельны, то ϕ=0

k2-k=0 => k1=k2

Условия параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если L1 L2, то ϕ= . Отсюда -- tg = tg( 1)= -- ctg 1= -

k2= --

Условия -ти 2-х прямых состоит в том , что их коэф. обратны по величине и общ. по знаку.