1 вопрос Векторы на плоскости и в пространстве.

Вектором АВ называется направленный отрезок прямой на которых заданы начало и направление. Длиной вектора АВ называется величина равная длине отрезка, изображающего вектор. Вектор, у которого начало и коне совпадают наз-ся нулевым. Вектор, лежащий на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Т.к. нулевой вектор не имеет направления, то считается, сто он коллинеарен любому вектору.

Произведением вектора а на число λ называет вектор в, равный λ*а, модуль которого

|b|=|a|*|a|

Направление которого совпадет с вектором а, если λ >0, и противоположна ему если λ <0

Суммой двух векторов а и в называется вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец совпадает с концом вектора в.

Разность векторов а и в наз-ся вектор а+(-в).

2 вопрос. Арифметические векторы пространства Rⁿ .

Арифметическим n-мерным вектором наз-ся любая последовательность из n-действительных чисел.

а=(а₁,а₂,…,аn)

Числа а₁, а₂, …. и т.д. наз-я координатами вектора.

Суммой двух векторов а и в с одинаковым числом координат наз-ся вектор

а+в=(а₁+в₁,…а_n+в_n)

Произведение вектора а на К наз-ся вектор Ка=(а₁К,..,а_nK)

Справедливы следующие свойства сложения и умножения векторов

Множество всех n-мерных арифметических векторов, в котором введены операция сложения и умножения вектора на число называют n-мерным арифметическим пространством R^n. Геометрический смысл имеют лишь R, R2, R3. Пространства Rn, где n>3-это чисто мат. Объект, удобный для описания различных процессов, в том числе и экономических.

Вопрос 15

Системы линейных уравнений с n-переменными.

Системы m-линейных уравнений с n-независимыми имеет вид

Где a_ij-это коэффициент при неизвестных, а b_i-это свободные члены или равные части уравнения

Систему (1) можно кратко записать в виде

_ijxj= bi, i= (2)

Решением системы (1) наз-ся совокупность n-чисел x1,x2,…, xn при подстановке которой в систему (1) каждое уравнение обращается в верное равенство. Система уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если не имеет решений.

Совместная система наз-ся определенной, если она имеет единственное решение и неопределённой, если она имеет более одного решения.

совместная и определенная, т.к. имеет ед. решение (10;0)

несовместимая

совместная, но не определенная

Две системы ур-ний равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.

Запишем систему (1) в матричной форме.

, B= ( )

Где A-матрица коэф. при неизвестных

В-матрица столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно записать Ax=B (3)

Система m-линейных уравнений с n-переменными. Там же, метод обратной матрицы Вопрос 16. Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных m=n, тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель ∆=|A|называется определителем системы.

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя неизвестными.

(4) | исключим переменную x2, умножив 1 ур-е на а22 второе-на (-а21) и сложить.

Исключим переменную х1, умножив 1ур-е ( -а21), 2 ур-е-на а11 и сложить

В результате получим систему

(5)

Выражение в скобках есть определитель

∆1=a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂=_ ₊

∆2=a11b2-a21b1=_ ₊

(6)

Из полученной системы следует, что если определитель системы ∆ отличен от нуля, то система (4) имеет единственное решение опред-е по формуле x1= , x2=

Частные случаи:

1)Если ∆=0, ∆1≠0, или ∆2≠0, то система (4) несовместная

2)Если ∆=∆1=∆2=0, то система (4) неопределенная, имеет бесчисленное множество решений.

Для получения решения системы (1) при m=n в общем виде методом обратной матрицы предположим, что квадратная матрица системы –невырожденная, т.е. ее определитель |A|≠0. В этом случае сущ-т обратная матрица А^-1. Умножая обе части матрицы равенства АХ=В на А^-1 получим А^-1(АХ)=А^-1В. Т.к. по определению обратной матрицы

А^-1(АХ)= АА^-1Х=ЕХ=Е, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица столбец

Х=А^-1В (7)

Вопрос 17.Правило Крамера.

Теорема. Пусть ∆-определитель матрицы А(∆=|A|), ∆j-определитель матрицы, получаемой из матрицы А с заменой j-го столбца столбцом из свободных членов. Тогда при ∆≠0 система имеет единственное решение, опр-е по формулам

xj= (8), j=

Формулами Крамера наз-ся формула (8)

Доказательство:

A^-1= * , где -присоединенная матрица.

Т.к. элементы есть алгебраические дополнения элементов матрицы A^I транспонированной к A, то запишем равенство Х=А-¹В (7) в развернутом виде

( )= ( )*( )

Т.к. |A|= ∆ после умножения матриц получим ( )= ( )

Отсюда следует , что любого j=1,n

x_j= (b₁A_ij+b₂A_2j+…+b_nA_nj)

b₁A_ij+b₂A_2j+…+b_nA_nj =∆j, где j –определитель матрицы, полученной из матрицы A с заменой j-го столбца столбцом из свободных членов

Xj= .