- •Математический анализ первый семестр часть 1
- •0).Молитвы
- •1). Элементы Мат. Логики
- •2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
- •3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
- •4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
- •5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
- •8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.
- •6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип верхней грани.
- •7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.
- •9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
- •10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.
- •11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.
- •13). Предел и арифметические операции.
- •14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.
- •15). Число е
- •16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
- •17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
- •19). Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •20). Сходимость и частичные пределы.
- •8) {An} – фундаментальна
- •9)Критерий Коши
- •10)Критерий монотонной сходимости
- •Для заметок
19). Верхний и нижний пределы, их свойства.
МНОЖЕСТВО ЧАСТИЧНЫХ ПРЕДЕЛОВ ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ Пусть {x n } - ограничено
Рассмотрим |
|
ЛЕММА
Последовательности an и bn сходятся ДОК-ВО: a n ≥ a n + 1 , a n убывает b n ≤ b n + 1 , b n возрастает {a n } и {b n } - ограничены По критерию монотонной сходимости последовательности a n и b n сходятся Ч.Т.Д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
|
|
x n =: |
|
x n |
- верхний предел последовательности {x n }
Аналогично
|
x n = |
|
|
x k |
ТЕОРЕМА Верхний предел – наибольший из всех частичных пределов, нижний предел – наименьший из частичных пределов
ДОК-ВО(для верхнего предела): 1)
Покажем, что |
|
x n =: c - частичный предел. |
Пусть an = sup{xk : k≥n}. Тогда оно определено.
a n → c, т. е. ∀ ε > 0 ∃ N( ε ) ∀ n > N |a n - c| < ε .
Возьмём ε = 1 → N 1 = N(1), Выберем m = N 1 , тогда m > N 1 , и |a m - c| < 1 (т.е. c - 1 < a n < c + 1) a m = sup {x m , x m + 1 , } ⇒ a m-1 - уже не верхняя граница для этого множества Есть номер n1 n 1 ≥ m, что a m – 1 < xn1 ≤ am ⇒ x n 1 ∈ (c - 2, c + 1)
ε = |
|
⇒ N 2 = N( |
|
) |
Выберем m 2 = max{N 2 + 1, n 1 + 1}, тогда
|a m 2 - c| < |
|
⇒ c - |
|
< a m 2 < c + |
|
|
a m 2 = sup {x m2 , x m 2 + 1, … }
⇒ a m 2 - |
|
- уже не верхняя граница |
⇒ есть например n 2 ≥ m 2 что a m 2 - |
|
< x n 2 < a m 2 |
⇒ x n 2 ∈ (c - 2 |
|
, c + |
|
) |
причём n 2 > n 1 . Аналогично построим n3 > n2, n4 > n3, и т.д. и вообще
nk+1>nk, так,
что x n k ∈ (c - 2 |
|
, c + |
|
) ⇒ x n k → c |
по лемме о двух милиционерах они сходятся к с. Значит с - частичный предел 2) Если a - частичный предел, то a ≤ c Пусть x n k → a
c = |
|
x n = |
|
a n, где a n = sup{x k :k ≥ n} |
Т.е. ∀ ε > 0 ∃ N ∀ n > N |a n - c| < ε ⇒ при n > N (a n < c + ε ), но a n = sup {x n : k ≥ n} ≥ x n ⇒ при k > N, n k ≥ k > N ⇒ n k > N ⇒ x n k < c + ε , но x n k → a, значит, и a ≤ c + ε Итог: ∀ ε > 0, a ≤ c + ε ⇒ a ≤ c Ч.Т.Д. Замечания: 1) Аналогично нижний предел – наименьший из всех частичных 2) Для существования верхнего предела достаточно ограниченности сверху, для нижнего - снизу Определение: {x n } - ограничена сверху тогда и только тогда, когда ∃ c, что ∀ n x n ≤ c