13). Предел и арифметические операции.

Пусть , при

_Тогда:

1).

2).

3). (Если и 0 n )

( , аналогично произведение, разность и частеное)

(«предел суммы равен сумме пределов»)

ДОК-ВО:

1)по условию , т.е. , такой, что

Аналогично , ЧТО

Выберем , тогда

2)

Т.к. - сходится, то , что N

_{, тогда}

|y n - B| <

ε 2C

, то |x n | ∉ |y n - B <

ε 2

⇒

|x n y n - AB| <

ε 2

+

ε 2

= ε

А при

3).

, что

тогда: ⇒ n >

14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (Монотонные последовательности)

{x_n} – возрастающая , убывающая если

Невозрастающая , неубывающей если

Все четыре типа называются монотонными последовательностями. Возрастающие и убывающие – строго монотонные. Невозрастающие и неубывающие – нестрого монотонные.

ТЕОРЕМА (Критерий сходимости монотонной последовательности).

Пусть монотонна, тогда она сходится она ограничена.

ДОК-ВО:

( ) Очевидно

( ) Пусть неубывающая и ограничена.

Покажем, что сходится. Пусть N

Т.к. ограничена, то - ограниченное множество,

(По принципу верхней грани)

С – верхняя граница для , т. е. N

Причём наименьшая верхняя граница. Т.е. , тогда не верхняя граница

Т.е. , что

Н о:

n > n₀

Т.е.

Ч.Т.Д.

15). Число е

Число (Ейлер)

ТЕОРЕМА

Существует

= 2,781281828459045…

ЛЕММА

Последовательность - убывающая

ДОК-ВО:

= = = =

(По неравенству Бернулли если ) > = = = 1

Т.е. , т.е. она убывает. Ч.Т.Д.

СЛЕДСТВИЕ

ДОК-ВО

- убывает. , значит она ограничена снизу, она убывает она ограничена. ⇒(по критерию линейной сходимости)

- сходится. Ч.Т .Д.

ДОК-ВО теоремы

= = (первый множитель сходится по лемме, второй = =

=

По теореме о пределе произведения - сходится и её предел равен пределу =

Теорема доказана.

16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность называется фундаментальной если

ТЕОРЕМА (Критерий Коши)

Числовая последовательность - сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

ДОК-ВО:

( ) Пусть - сходится, т. е. , т.е. , что

∀ m > N ⇒ |x m - A | <

ε 2

∀ n > N ⇒ |x n - A | <

ε 2

⇒ |x n - x m | = |(x n - A) - (x m - A)| ≤ |(x n - A) + (x m - A)|<

ε 2 + ε 2 = ε

∀ ε > 0 ∃N ∀ n > N ∀ m > N |x _n - x _m | < ε  Т.е. {x _n } - фундаментальна (⇐) Пусть последовательность x _n - фундаментальна, т.е. ∀ ε > 0 ∃ N ₀ = N ₀ ( ε ) ∀ m, n > N ₀ |x _m - x _n | < ε  1) Ограниченность ε :=1; N ₁ =N ₀ (1); ⇒ ∀ m, n > N ₁ |x _m - x _n | < 1 m:=N ₁ + 1 = k ∀ n > N ₁ |x _n - x _k |<1 Т.е. x _k + 1 < x _n < x _k - 1  C:= max {|x _k + 1|, |x _k - 1|, |x ₁ |, |x ₂ |,...|x _N 1 |} Тогда ∀ n ∈ N |x _n | ≤ C т.е.{x _n } - ограничена 2).  a _n = inf { x _n : k ≥ n } b _n = sup { x _n : k ≥ n } x _n - ограничена (ПВГ) ⇒ ∃ b _n ; налогично по принципу нижней грани ∃ a _n  Тогда: а) a _n ≤ a _{n + 1}  б) b _n ≥ b _{n + 1} Т.е.  {a _n } возрастает; {b _n } убывает в) b _n ≥ a _n  г) a _n b _n ∀ n, m I _n = [a _n , b _n ] из(в) ⇒ это отрезок из(а, б) ⇒ I _n ⊃ I _{n + 1}  a_n a_n+1 b_n+1 b_n

П о принципу вложенных отрезков (ПВО) ⇒ ∃ точка А, общая для всех отрезков Т.е. A ∈ I _n ∀ n; т.е. a _n ≤ A ≤ b _n ∀ n

Возьмём N = N 0 (

ε 3

)

Покажем, что ∀ n > N, |x _n - A| < ε 

Имеем: ∀ m, n > N |x m - x n | <

ε 3

x n < x m +

ε 3

Пусть m = N + 1 Если n > N, и k ≥ n ⇒ k > N ⇒

x n -

ε 3

k < x m +

ε 3

⇒ sup {x k : k ≥ n} ≤ x m +

ε 3

b n < x m +

ε 3

ε/3 ε/3

x_m- ε/3 a_n x_n b_n x_m+ ε/3

Аналогично:

A n ≥ x m -	ε 3
И т.д.

Т.е.

I n ⊂ x m -

ε 3

,x m +

ε 3

|x m - A| ≤

ε 3

A ∈ I n ⇒ x m-

ε 3

≤ A < x m +

ε 3

Тогда : |x _n - A| = |x _n - x _m + x _m - A | ≤ |x _m - x _n | + |x _m - A| ≤ 

ε 3	+	ε 3	< ε

Т. е. {x _n } - сходится Ч.Т.Д.