17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
Подпоследоватедьности ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть {x n } - последовательность {n k } - возрастающая последовательность натуральных чисел Тогда {x n k } подпоследовательность {x n } Пример: n k = 2k
x n k = |
|
- подпоследовательность последовательности |
x n = |
|
Замечание: n k ∈ N, n k строго возрастает ⇒ n k ≥ k ДОК-ВО По принципу математическлй индукции База: n 1 ≥ 1 Шаг: пусть n k ≥ k n (k + 1) > n k ≥ k n (k + 1) > k ⇒ n k + 1 ≥ k + 1 Ч.Т.Д.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Частичным пределом последовательности называется предел её подпоследовательности т.е. если {x n } - последовательность и {x n k } - её сходящаяся подпоследовательность lim x n k - частичный предел для {x n } Пример:
x n = |
|
x n k = |
|
→ 0 |
число "0" - частичный предел для {x n }
18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
ТЕОРЕМА:
Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.
ДОК-ВО: Рассмотрим Е = (x n : n ∈ N) - множество значений последовательности Т.к.{x n } - огр. ⇒ Е - ограничено а) Е - конечное (состоит из конечного числа элементов ⇒ некоторый элемент из Е (пусть это число с) встретится в {x n } бесконечно много раз. ⇒ есть подпоследовательность (постоянная !), которая сходится б)
|
(ППТ) ⇒ |
у множества Е есть хотябы одна предельная точка (пусть это - С) Построим подпоследовательность {x n } - сходится к С. Т.к. С – предельная точка для Е, то
в любой окрестности С бесконечно много точек из Е ε = 1 В интервале U (C - 1, C + 1) бесконечно много точек из Е
Выберем n1 так, что x n1 ∈ U
ε = |
|
, значит |
U 1/2 = (C - |
|
, C + |
|
) |
там бесконечно много точек из Е Выберем n 2 так, что n 2 > n 1 , и х n 2 ∈ U 1/2
ε = |
|
выберем n3 > n 2 так, что x n 3 ∈ U1/3 = (C - |
|
, C + |
|
3и т. д. С
Т.о. построим последовательноcть n k + 1 > n k
x n k ∈ U1/k= (C - |
|
, C + |
|
), |
т.е. C - |
|
< x n k < C + |
|
⇒ C - частичный предел Ч.Т.Д. |