9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.

Система X={S} множеств называется покрытием множества Е тогда и только тогда, когда Е содержится в объединении множеств этой системы.

КОНЕЧНОЕ ПОКРЫТИЕ состоит из конечного числа множеств

ПОДПОКРЫТИЕ покрытия S – это подсистема системы S, являющиеся покрытием.

ТЕОРЕМА (Принцип конечного покрытия)

Из всякого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие.

ДОК_ВО: Пусть - покрытие _{= E0}

От противного

Пусть нельзя выделить конечное подпокрытие

Разделим пополам, тогда одну из его половин нельзя покрыть конечным числом интервалов системы;

Обозначим его через . Разделим и его пополам, тогда одну из половин также нельзя покрыть конечным числом интервалов, обозначим её Е₂ и т.д..

Получили последовательность отрезков , каждый из которых нельзя покрыть конечным числом интервалов системы.

Эта система вложенных отрезков. (Принцип вложенных отрезков) Тогда но - покрытие интервал этой системы, покрывающий точку С _α<C<β

По неравенству Бернулли При достаточно больших и

Т.е. покрывает одним интервалом системы. ПРОТИВОРЕЧИЕ. Теорема доказана

10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Последовательность сходится к числу Обозначение:

Существует предел при стремящемся к бесконечности в последовательности {x_n}, равный А

Для любого положительного все члены последовательности начиная с некоторого попадают в окрестность точки А

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: последовательность {x_n} называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ, если

ТЕОРЕМА: Последовательность сходится , что последовательность бесконечно малая. (т.е. можно представить в виде x_n = А + бесконечно малая)

ДОК-ВО:

А).

Б). - бесконечно малая

А и Б одно и то же. Ч.Т.Д.

ТЕОРЕМА: Произведение ограниченной и бесконечно малой последовательности – бесконечно малая

ДОК-ВО: Пусть - ограничено, - бесконечно малая

Т.е.

что

Тогда: возьмём

Тогда:

Т.е Ч.Т.Д.

11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.

Если последовательность сходится, то её предел единственен.

Д ОК-ВО: Пусть и Показать, что А = В

От противного: Пусть А В А С В

(А<В)

Тогда :

1). окрестности А и В не пересекаются

2). , то

3).

Выберем

По 2), и 3), , но это противоречит 1)

Ч.Т.Д.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

ДОК-ВО: , т.е.

Пусть =1, тогда

Т.е.

, тогда N

0 A – 1 A A+1

A – 1 A A+1 0

0

0

12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.

ТЕОРЕМА (Лемма о сохранении знака)

Пусть , причём А < В, тогда при всех достаточно больших _N

Д ОК-ВО:

А С В

Пусть (по условию) Поскольку , то , что

= С

, что

т.е. Ч.Т.Д.

СЛЕДСТВИЯ (о предельном переходе в неравенствах)

1). Если для всех достаточно больших , то

ДОК-ВО:

1). От противного:

Пусть (по лемме о сохранении знака) для всех достаточно больших .

Противоречие с условием.

ТЕОРЕМА(Лемма о двух милиционерах)

Пусть для , при чём и . Тогда y_n A

ДОК-ВО:

Пол условию , что

(и значит , т.е. )

, что

(и значит )

(т.е. )

Ч.Т.Д.