2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
Множество – совокупность некоторых объектов и эти объекты множества.
Множества характеризуются своими элементами.
Два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.
Пустое множество Ø – множество, в котором нет элементов.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Объединение:
\/
Пересечение:
/\
Инверсия:
С
\ - разность множеств
3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
Функция
(или отображение)
– это правило, которое каждому элементу
из А ставит в соответствие единственный
элемент из В.
Точное
определение функции: в прямом произведении
A
В рассматривается подмножество Г, такое,
что
единственная пара 
Тогда Г и определяет функцию из А в В, для которой Г является графиком.
ТЕРМИНОЛОГИЯ
B
f-
функция из А в В
А
= 
– область определения f
– переводит элемент а в элемент в
F(A)-
множество значений отображений f:A
B
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть
Тогда
1). f – инъективно f- разные элементы переводит в разные
2). f – сюръективно если в каждый элемент из В переходит некоторый элемент из A
3). f – биективно если оно сюръективно и инъективно
Функция 
является
обратной к функции 
,
если выполнены следующие тождества:
f(g(y)) = y для всех
g(f(x)) = x для всех
Обратная функция определена лишь для биективной.
4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
СЛОЖЕНИЕ(С)
С1
Ассоциативность
x,y,z
(x+y)+z
= x+(y+z)
C2 Существование нейтрального элемента х + 0 = 0 + х = х
С3 Существование обратного элемента x y, что х + у = 0 (у = -х)
С4
Коммутативность
.x,
y
R
х + у = у + х
ЗАМ : С1 – С3 множество R с операцией «+» является группой, если ещё с4, то группа называется Абелевой, или коммутативной
УМНОЖЕНИЕ(У)
У1 Ассоциативность x,y,z (x*y)*z = x*(yz)
У2 Существование нейтрального элемента x R х*1 = 1* х = х
У3
Существование обратного элемента
x
0
y,
что х*у = 1 (у = 1/х)
У4 Коммутативность х*у = у*х x,y
ЗАМ : У1 – У4 Абелева группа умножения
(С + У) Дистрибутивность x,y,z
x*(y+z)=x*y+x*z
АКСИОМЫ ПОРЯДКА (П) x,y,z
П1
рефлективность Х
Х
П2
транзитивность 
П3
Антисимметричность 
П4
Сравнимость всех элементов:
x,y
(x
y)
\/ (y
x)
ЗАМ : П1 – П3 – частичный порядок
П1 – П4 – порядок
(С
+ П) (связь «+» и «
») 
(У
+ П) (связь «*» и «
») 
Эти 15 аксиом = R упорядоченное поле
АКСИОМА ПОЛНОТЫ
Полнота R : для любых непустых множеств, таких, что все элементы одного не превышают все элементы другого, существует число, разделяющие эти множества.
5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
1’. 1 – натуральное число
2’. n (n – натуральное число) (n +1) – натуральное число
3’. Любое натуральное число можно плоучить из 1’. или 2’.
МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ N = {1, 2, 3, 4, …}
ТЕОРЕМА : Множество N не ограничено сверху
ДОК-ВО: «От противного» предположим что это множество ограничено сверху. Тогда существует единственная точная верхняя граница множества =: C
С
– 1 – верхняя граньN
C
– не верхняя грань. ПРОТИВОРЕЧИЕ.
АКСИОМА АРХИМЕДА
Если
имеется две величины a и b, то
взяв a слагаемым достаточное
количество раз, можно превзойти b:
ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
-База y(n=1) – верно
-Шаг индукции y(n=k+1)