- •Первые вопросы.
- •Вычитание числа из суммы:
- •2.Вычитание суммы из числа:
- •3. Истомина 2 класс, № 370, с. 121 Билет 2
- •Тождественные преобразования выражений.
- •Числовые равенства и неравенства, их основные свойства.
- •Свойства истинных числовых равенств:
- •Свойства числовых неравенств:
- •3. Истомина 4 класс, с. 22 - 23, № 46
- •Правила счета:
- •Теоретико-множественный смысл натурального числа.
- •3. Истомина 4 класс, с. 130, № 307 Билет 4
- •Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел.
- •Условие существования частного натуральных чисел:
- •Билет 5
- •Билет №7
- •1. Различные определений понятия «квадрат». Свойства и признаки квадрата. Определение понятия «квадрат» в начальном курсе обучения математике и алгоритм его использования при распознавании квадратов.
- •Признаки квадрата:
- •Основные свойства квадрата:
- •Билет 8
- •1. Понятия их объём. Отношения рода и вида между понятиями. Явные и неявные определения понятий. Примеры (2-3) явных и неявных определений понятий, изучаемых в начальном курсе математики.
- •2. Истомина н.Б. 4 класс №580 c. 225
- •3. Истомина 1 класс № 50-51 c. 26 - 27 Билет 9
- •Билет №10
- •Признаки прямоугольника:
- •Основные свойства прямоугольника
- •Свойства отношений:
- •Билет 12
- •Правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции:
- •Правило построения отрицания, содержащих кванторы:
- •Билет №14
- •1. Уравнение первой степени с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Примеры уравнений из учебников математики для начальной школы и способы их решения.
- •Теоремы о равносильных уравнениях.
- •3. Истомина н.Б. 4 класс № 474 с. 186 Билет 15
- •Свойства однородных величин:
- •Смысл суммы и разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
- •Билет 16
- •3. Рудницкая 3 класс, 2ч, с 54 – 55, № 205 – 207.
- •Билет №17
- •Билет 19
- •Свойства однородных величин:
- •Смысл суммы и разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
- •Билет 20
- •Определение умножения натуральных чисел через сложение.
- •Теоретико-множественный смысл произведения.
- •Определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств:
- •Свойства умножения и теоретико-множественная интерпретация.
- •Билет 21
- •2. Истомина н.Б. 4 класс № 593 с. 227 Билет 22
- •Билет 23
- •Билет 24
- •Схемы дедуктивных умозаключений:
- •1. Правило заключения:
- •2. Правило отрицания:
- •3. Правило силлогизма:
- •2. Истомина н.Б. 4 класс № 593 с. 227 Билет №27
- •3. Истомина н.Б. 4 класс № 467-468 с. 182-183
3. Истомина 4 класс, с. 130, № 307 Билет 4
1. Определение деления натуральных чисел через умножение. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел. Условие существования частного натуральных чисел. Правило деления суммы на число, его теоретико-множественная интерпретация. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл частного.
Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Частным натуральных чисел а и b называется такое число с, что а=b*с.
Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел.
1. Пусть а = n(А), и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные между собой подмножества. Тогда если b - число элементов в каждом из этих подмножеств, то частным а и b будет называть число этих подмножеств.
2. Если b есть число этих подмножеств, то частным а и b будет называться число элементов в каждом из этих подмножеств.
Примеры:
1) 12:3
А /// /// /// ///
12 = n(А)
Разбиваем это множество А на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, каждое из которых содержит 3 элемента.
Таких подмножеств 4, значит, 12:3=4
b=3
2) Пусть 12=n(А) и b=3
/ / / / / / / / / / / /
I II III (поочередно распределяем элементы по подмножествам - 1й-/, 2й-//, Зй-1///, 4й-/, 5й-//, 6й-/// и т.д.).
Тогда каждое из этих подмножеств будет содержать по 4 элемента.
n(А1)=n(А1)=n(Аз)=4, поэтому 12:3=4
Условие существования частного натуральных чисел:
Для того чтобы частное натуральных чисел а и b существовало на множестве натуральных чисел необходимо и достаточно, чтобы b не было равно нулю
А => В
А – достаточное условие для В.
В – необходимое условие для А.
Если частное существует, то, а>=b.
Правило деления суммы на число, его теоретико-множественная интерпретация.
1. Если а кратно в и с кратно в, где а и с - целые неотрицательные числа, а в – натуральное число, то сумма а + с делиться на в и равна сумме частных а : в и с : в.
(а кратно в и с кратно в) => ((а + с) : в = а : в + с : в)
Для того чтобы сумму целых неотрицательных чисел разделить на натуральное число, достаточно на это число разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Билет 5
Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих смысл произведения и частного натуральных чисел – мер величин.
Умножение натуральных чисел полученных в результате измерения величин отражает переход от одной единицы измерения к другой. Т. е. если натуральное число m есть значение длины отрезка А при выбранной единице измерения Е , а натуральное число n - есть значение длины отрезка Е, при выбранной единицы длинны Е1, то произведение натуральных чисел m и n – есть численное значение длинны отрезка А, при единице длинны Е1.
m = m Е (А)
n = m Е1 (Е)
m * n = m Е1 (А)
A = 5 м = 5 * 1 м = 5 * 10 * 1 дм = (5 * 10 (m 1дм (А)) = 50 * 1 дм = 50 дм
Под делением натуральных чисел полученных в результате измерения положительных скалярных величин, следует понимать переход от одной единицы измерения к другой. Т. е. если натуральное число m есть численное значение длинны отрезка А при выбранной единице измерения Е , а натуральное число n - есть значение длины отрезка Е1 при выбранной единицы длинны Е, то частное натуральных чисел m и n – есть численное значение длинны отрезка А, при единице длинны Е1.
m = m Е (А)
n = m Е (Е1 )
m : n = m Е1 (А)
A = 60 дм = 60 * 1 дм = 60 * 1 : 10 м = (60 : 10 (m Е1 (А)) * 1 = 6 * 1 м = 6 м
5 ящ. = 5 * 1 = 5 * 10 * 1 кг = (5 – 10) *1 кг = 50 кг
Представление натурального числа как результата измерения величин лежит в основе изучения математики в начальной школе по система Эльконина- Давыдова, поэтому наибольшее количество заданий раскрывающих в явном виде смысл умножения и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, находит своё отражение в учебниках созданных в указанной системе.
Пример: таких заданий из учебника Александровой Эльвиры Ивановны. (№ 34, 36, 37, 51)
Детям предлагается измерять одну и ту же величину при помощи различных мерок. Предлагаются различные задания на переход от одной мерки к другой.
БИЛЕТ № 6
Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел. Свойства сложения, их теоретико-множественный смысл и назначение. Словесные формулировки свойств сложения, изучаемых в нач школе. Примеры заданий из начального курса математики, раскрывающих теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел.
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В – 4 элемента и пересечение множеств А и В, пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4.
Теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и в представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(A), b = n(B): а + в = n(A) + n(B) = n(A B), если А В = .
Словесные формулировки свойств сложения, изучаемых в нач школе:
Переместительный закон (коммутативный) – от перемены мест слагаемых сумма не меняется
Сочетательный закон (ассоциативный) – сумма не зависит от порядка выполняемых действий или 2 соседних слагаемых можно заменить значением их суммы
Распределительный закон умножения (дистрибутивный)
Пример: «Катя нашла 3 гриба, а Маша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»
В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как n(А) = 3, n(В) = 4 и А В= , то n(A B) = 3 +4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 = 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.