Пример выполнения работы

Содержательная постановка задачи. Некоторое оборудование эксплуатируется в течение 5-ти лет (от капитального ремонта до капитального ремонта). В начале каждого года эксплуатации (кроме первого) можно провести профилактический средний ремонт. Эксплуатационные расходы зависят от количества лет t , в течение которых оборудование эксплуатируется без ремонта, и от количества лет , прошедших с начала эксплуатации. Эти расходы заданы в виде таблицы.

Составить план профилактических средних ремонтов (в какие годы их проводить), чтобы получить минимальный суммарный расход по эксплуатации за все пять лет.

Расходы на эксплуатацию оборудования (у.е.)

t 	0	1	2	3	4
1	10	12	11	12	17
2	23	21	20	19	-
3	39	34	33	-	-
4	54	51	-	-	-
5	72	-	-	-	-

Построение математической модели. Схему проведения капитальных ремонтов можно представить в виде ориентированного графа:

Здесь узлы графа обозначают начало соответствующего года эксплуатации (узел №6 означает начало 6-го года, т.е. окончание эксплуатации). Дуга из узла i в узел j означает, что оборудование ремонтируется в начале i-того года (кроме первого) и в дальнейшем эксплуатируется без ремонта до начала j-того года. Определим веса дуг графа, исходя из таблицы расходов на эксплуатацию.

(1,2)- Оборудование эксплуатируется без ремонта в течение 1-го года, и до этого не эксплуатировалось. Данной ситуации соответствует клетка таблицы t = 1,  = 0. Следовательно, вес дуги l₁₂ = 10.

(1,3)- Оборудование эксплуатируется без ремонта в течение двух лет, и до этого не эксплуатировалось. Данной ситуации соответствует клетка таблицы t=2,  = 0. Следовательно, вес дуги l₁₃= 23.

Аналогично:

l₁₄= 39

l₁₅= 54

l₁₆= 72

Рассмотрим дуги, исходящие из узла №2. Например, дуга (2,3) соответствует ситуации, когда оборудование эксплуатируется 1 год без ремонта, а до этого проработало 1 год. Следовательно, обращаемся к клетке таблицы со значениями t =1,  =1. Следовательно, имеем вес дуги: l₂₃=12.

Руководствуясь подобными рассуждениями, определяем веса всех дуг. Полученные результаты заносим в новую таблицу, отражающую длины дуг, соединяющие соответствующие узлы построенного графа:

i j	1	2	3	4	5	6
1	-	10	23	39	54	72
2	-	-	12	21	34	51
3	-	-	-	11	20	33
4	-	-	-	-	12	19
5	-	-	-	-	-	17
6	-	-	-	-	-	-

Затраты за все 5 лет эксплуатации складываются из затрат за каждый период, когда оборудование не ремонтировалось. Следовательно, задачу минимизации затрат можно рассматривать как задачу поиска кратчайшего пути на построенном графе из узла 1 в узел 6.

Обозначим: .

В терминах поставленной задачи вхождение дуги (i,j) в кратчайший путь означает, что оборудование ремонтируется в начале i-того года и эксплуатируется в дальнейшем без ремонта до начала j-того.

Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

В этой модели r-начальный узел пути, s- конечный узел пути, D- множество всех дуг графа, l_ij-вес дуги (i,j), целевая функция (1) определяет длину пути, которая должна быть минимальной. Ограничение (2) требует, чтобы в рассматриваемый путь из r в s входила только одна дуга, исходящая из r. Условие (3) говорит о том, что путь кончается в s, т.е. в рассматриваемый путь из r в s входит только одна дуга, входящая в s. Условие (4) представляет собой условие непрерывности пути, означающее, что если путь входит в какой-либо узел пути (кроме начального и конечного), то он обязательно должен из него выходить. Или, если путь не заходит в узел, то он и не должен из него выходить.

Запишем математическую модель применительно к нашей конкретной задаче:

L=10x₁₂+23x₁₃+39x₁₄+54x₁₅+72x₁₆+12x₂₃+21x₂₄+34x₂₅+51x₂₆+11x₃₄+20x₃₅+33x₃₆+

+12x₄₅+19x₄₆+17x₅₆min

x₁₂+x₁₃+x₁₄+x₁₅+x₁₆=1

x₁₆+x₂₆+x₃₆+x₄₆+x₅₆=1

x₁₂-(x₂₃+x₂₄+x₂₅+x₂₆)=0

(x₁₃+x₂₃)-(x₃₄+x₃₅+x₃₆)=0

(x₁₄+x₂₄+x₃₄)-(x₄₅+x₄₆)=0

x₁₅+x₂₅+x₃₅+x₄₅-x₅₆=0

Решение данной задачи при помощи программы Крат_путь даёт следующие результаты:

x₁₂=1, x₂₄=1, x₄₆=1, L=50. Или: узлы кратчайшего пути: 1,2,4,6. Длина пути = 50. В терминах поставленной задачи ответ выглядит следующим образом: текущие ремонты следует проводить в начале второго и четвертого годов эксплуатации. При этом общие затраты на эксплуатацию оборудования составят 50 у.е.