Пример выполнения работы

Содержательная постановка задачи. На 4-х заводах производится некоторая продукция в указанных объемах (ед. в сутки):

Завод	1	2	3	4
Производство	150	110	100	90

Продукция вывозится в три магазина. Объемы суточных продаж магазинов известны.

Магазин	1	2	3
Продажи	120	50	190

Стоимости перевозок единицы продукции с заводов в магазины указаны в таблице.

Завод Магазин	1	2	3
1	6	7	4
2	6	7	9
3	2	5	3
4	4	5	8

Составить оптимальный план перевозки продукции так, чтобы общие затраты на перевозку были минимальны. Решить вопрос о сокращении производства на некоторых заводах.

Построение математической модели. Из постановки задачи следует, что необходимо определить, сколько продукции с какого завода в какой магазин будет перевезено. Исходя из этого, введём следующее обозначение.

Пусть x_ij – количество продукции с i‑го завода, перевезенной в j‑й магазин, , . Заметим, что общий объем производства по всем заводам составляет 150+110+100+90=450 ед. продукции, тогда как суммарный объем продаж равен 120+50+190=360. Т.о. имеет место перепроизводство. В таком случае с некоторых заводов продукция будет вывезена не полностью. Обозначим затраты на перевозку единицы продукции с i‑го завода в j‑й магазин как c_ij , объем выпуска продукции i-тым заводом как a_i , а объемы продаж j‑го магазина как b_j . Формализуем целевую функцию и ограничения.

Запишем в формальном виде общие затраты на перевозку продукции.

При перевозке продукции с i‑го завода в j‑й магазин в количестве x_ij единиц затраты составят c_ij x_ij рублей. Суммируя по всем четырём заводам и всем трем магазинам, получаем выражение для целевой функции

.

Здесь m=4, n=3. Сформулируем теперь условие вывоза продукции в магазины.

Рассмотрим сначала 1‑й завод. По предположению из 1‑го завода в 1‑й магазин перевезено x₁₁ единиц продукции, во 2‑й магазин – x₁₂ единиц, в последний n‑й магазин – x_1n единиц. Тогда с 1‑го завода во все n магазинов вывезено продукции в количестве

x₁₁ + x₁₂ + ... + x_1n

единиц. По условию с 1‑го завода может быть вывезено не больше a₁ единиц продукции:

x₁₁ + x₁₂ + ... + x_1n ≤ a₁

или:

.

Аналогично, условие вывоза продукции в количестве не более a₂ единиц со 2‑го завода запишется в виде:

.

Поэтому условие вывоза имеющейся продукции из всех m магазинов примет вид:

.

Запишем условия полного удовлетворения спроса во всех магазинах. Рассмотрим сначала 1‑й магазин. По предположению в 1‑й магазин с 1‑го завода перевезено x₁₁ единиц продукции, со 2‑го завода – x₂₁ единиц, с последнего m‑го завода – x_m1 единиц. Тогда в 1‑м магазине объем продукции, перевезенной со всех m заводов, равен:

x₁₁ + x₂₁ + ... + x_m1 .

Учитывая, что объем продаж в 1‑м магазине равен b₁ , получим:

x₁₁ + x₂₁ + ... + x_m1 =b₁ .

или:

.

Аналогично, условие удовлетворения спроса во втором магазине в объеме b₂ , запишется в виде

.

Поэтому условие удовлетворения спроса во всех n магазинах примет следующий вид:

,

 Очевидно, что нельзя перевозить отрицательное количество продукции, т.е. все переменные x_ij , являются неотрицательными величинами;

.

Таким образом, общая модель задачи записывается в виде

,

Учитывая конкретные значения параметров задачи, математическая модель примет окончательный вид:

6х₁₁+ 7х₁₂+ 4х₁₃+ 6х₂₁+ 7х₂₂+ 9х₂₃+2х₃₁+ 5х₃₂+ 3х₃₃+ 4х₄₁+ 5х₄₂+ 8х₄₃ min

х₁₁+х₁₂+ х₁₃≤150

х₂₁+х₂₂+ х₂₃≤110

х₃₁+х₃₂+ х₃₃≤100

х₄₁+х₄₂+ х₄₃≤90

х₁₁+х₂₁+ х₃₁+ х₄₁=120

х₁₂+х₂₂+ х₃₂+ х₄₂=50

х₁₃+х₂₃+ х₃₃+ х₄₃=190

По полученному виду математической модели можно сделать вывод, что рассматриваемая задача относится к классу открытых транспортных задач с перепроизводством. Для ее решения необходимо свести ее к закрытой задаче. Для этого вводится фиктивный пункт потребления – магазин №4, с объемом потребления (суточным объемом продаж), равным суммарному перепроизводству:

b₄=-=(150+110+100+90)-( 120+50+190) =450-360=90.

Стоимость перевозки в фиктивный магазин №4 назначается равной нулю:

Завод Магазин	1	2	3	4
1	6	7	4	0
2	6	7	9	0
3	2	5	3	0
4	4	5	8	0

Тогда математическая модель закрытой КТЗ примет вид:

6х₁₁+ 7х₁₂+ 4х₁₃+ 0х₁₄+6х₂₁+ 7х₂₂+ 9х₂₃+ 0х₂₄+2х₃₁+ 5х₃₂+ 3х₃₃+ 0х₃₄+ 4х₄₁+ 5х₄₂+ 8х₄₃+ 0х₄₄ min

х₁₁+х₁₂+ х₁₃+ х₁₄=150

х₂₁+х₂₂+ х₂₃+ х₂₄=110

х₃₁+х₃₂+ х₃₃+ х₃₄=100

х₄₁+х₄₂+ х₄₃+ х₄₄=90

х₁₁+х₂₁+ х₃₁+ х₄₁=120

х₁₂+х₂₂+ х₃₂+ х₄₂=50

х₁₃+х₂₃+ х₃₃+ х₄₃=190

х₁₄+х₂₄+ х₃₄+ х₄₄=90

Решение данной задачи при помощи программы КТЗ дает следующие результаты:

х₁₃=150, х₂₃ =20, х₂₄=90 , х₃₁=80, х₃₃=20 , х₄₁=40, х₄₂=50.

Целевая функция =1410.

В терминах постановки задачи данные результаты могут быть интерпретированы следующим образом:

Вся продукция, произведенная на первом заводе, в количестве 150 ед. перевозится в третий магазин. Со второго завода 20 ед. продукции перевозится в третий магазин. Четвертый магазин является фиктивным, поэтому 90 ед. продукции, которые должны быть туда перевезены согласно оптимальному плану, остаются на втором заводе как излишек. С третьего завода в первый магазин перевозится 80 ед, а в третий – 20 ед. продукции. С четверного завода продукция перевозится в первый и второй магазины в количестве соответственно 40 и 50 ед. При этом совокупные затраты на перевозку продукции составили 1410 у.е. Т.к. на втором заводе осталась не вывезенная продукция, то можно сделать вывод о сокращении производства на этом заводе на 90 ед. продукции ежедневно.