Ш.И._Галиев_МЛ_и_ТА_2004
.pdfОднаждыНасреддинаспрости.
ХоижаНагрсддин*
§4. Нечеткие выскнэывйная
имаксиминные ш ерация вял ними
Нечетким выекаяываниш называется предложение, отнпси-
.ыо которого можно сузить о степени его истинности или ности. Степень истинности или степень ложности каждого нгсого высказывания принимает значение из замкнутого интервала ], причем 0 и 1 являются их предельными значениями «падают с понятиями лжи и истины для "четких" высказываний, пепь кстинностя (степень ложности) каждого нечеткого высказыия может принимать как только некоторые значения из [0,1], так и значения из [0,1].
Примеры дечетких высказываний:
’'Петров занимается большой общественной работой".
“Молодая была уже не молида”-
:тавныс высказывания образуются № Простых с помощью вводи- v операций, таких как отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, им итация и других. Операции могут вводился различными егюсобаРассмотркм следующий вариант введения операций.
гказыванис, обозначаемое 14’, степень истинности которого >ецолче\ся выражением:
жчньикращ-iv,ХпготоЯ илиМпшюП, или Хкыими т Джо»* Насрелсинок.
201
Коньюнкцией нечетких высшываиип А ',В ‘ называется нечет кое шсказывание, обо5дачяемое^''&в,>степень истинности которого определяется следующимобразом:
Дизъюнкцией нечетких внсхазиваний А*, Я* называется нечет кое высказывание, обозначаемое A*vB*, степень истинности которого
.4*vi?* = max(.4'*,S*).
Импликацией нелегких высказываний А’,Б ’ называется нечет кое высказывание, обозначаемое . 4 степень истинности которо
го определяется выражением
Л*=*В"-тах(1-/‘*,3*)-
Эквивалентностью нечетких высказываний А’ В* называете*
которого определяется выражением
Введенная нечетная логика называется нечеткой логикой е махеимянными операциями.
Рассматривая А*. В', С" и т.д. как нечеткие -переменные (про позициональные буквы), можно внести понятие формулы и нечеткой логике точно также, как вводились пропозициональные формы {фор мулы логики высказываний). Ис-тинностиые значения этих формул определяются согласно соотношениям, введенным для , &, v, и з
\,‘X z 7Z. ™
Из (5,7) следует, что значение Av ] Л’ всегда не меньше 0,5. Рассмотрим теперь формулу:
Таким обрачом, истинностное значение для А*&1 Л* будет все гдаas больше 0,5.
Пусть нечеткое подмножество Л/молодых людей задано функ
цией принадлежности: |
|
|
\ |
1, |
если х=[0,20]; |
—“tK ^rr-
Значение функции принадлежности для выбритого чначения х, положимх = Тика, можно рассматривать как истинностное значение для нечеткого высказывания «Тина молода». Тогда истинностное зна чение нечеткого высказывания «Тина молода» будет равно 0,63, если ей 25 легг. Если Типе 18 лет, то истинностное значение высказывания
Пусть Х=2* - множество подмножеств множвства А (Аф0) и ка А'заданы обычные операции дополнения, пересечения и объеди нения, т.е. имеем алгебру Л=(.У: , л, и). Положим, что V - множество обычны* (четких) высказываний (с возможными значениями 1 и 0) с операциями \ & и v, т. е. имеем алгебру В=(К; , &,v). Легко видеть, что эти ajceGpu изоморфны при агом 0 (0еЛ) отображается на про тиворечие, а А на тавтологию. Этот изоморфизм можно продемонст рировать с помощью следующей таблицы:
203
При указанном изоморфизме каждый элемент или операция, за писанная в некоторой строке таблицы, для одной из алгебр переходит в соот&етствующий элемент или операцию, записанную в той же строке для другой алгебры.
Легки показать, что существуетизоморфизм между стандартной логикой Лугсасевнча £/ (с максиминными операциями) и алгеброй дечетки* подмножеств с операциями пополнения, переселения И объе динения, введенными по (5,3), (5.4) и (5.5) соответственно. Действи тельно, функцию принадлежности Цв1>). хеХ. с помошыо которой задается нечеткое подмножество R на универсальном множестве X, можно интерпретировать как функцию, задающую степени истинно сти (истинностные значения) утверждения «х является элементом подмножества В» г I,.
Оорагно, истинностные значения утверждения «* ивл-ется Р» в /.|, гдв Р - нечвткнй предикат (такой, ках молоОой, высокий, краси-
лежности нечеткого подмножества со спойсшом Р, определенного па X. Изоморфизм тогда следует на того, что логические операции в 1„ определенные по формулам (5.2), в точности совпадают с опера циями для нелегких подмножеств.
Стандартная логика Лукаоевича L, является лишь одной из воз можных бесконечнозначных логик. Другие бесконечнозшчиые логики со значениями на [0,1] можно строить, например, вводя иначе, чем в L| операции. Для каждого частного случая такой бесконечнозначиой логики можно ставить в соответствие изоморфную алгебру нечетких подмножеств е новыми операциями, Таким образом, исследование бесконечнозначных логик равносильно исследованию иечегеих под множеств (алгебры нечетких подмножеств) и наоборот.
Кроме того, для каждой многозначной .югики можно ставить в соответствие некоторую изоморфную алгебру нечетких подмножеств с некоторыми операциями
Рассмотренная нечеткая логика, т е. множество нечетких выска зываний с операциями &и v, является пи существу некоторым рас ширением понятия иногспнаинойлогиьи. Такая нечеткая логика с-чи- 2114
тается нечеткой логикой вузком смысле. Вшироком смысле нечеткая логика равнозначнатеория «четких множеств, см. [3] и работы, ука занные в [3]. Подробнее оразличных нечетких логиках можно прочи тать в работах [3, 12,15,16,23).
§ 5, Поиятке о нечегкой лкга мистической логике
Основоположником понятия лингвистической логики и лишкчстнческой переменной являете* Л. Зале. Он же аалпжил ОСНОВЫ применения лингвистической переменной к приближенным рассуж дениям. Главная цель введения лингвистической переменной и логи ки, основанной на этих переменных, - формализация приближенных рассуждений с использованием теории нечетких множеств.
В этой погике используются нечеткие количественные понятия (почти все, мносго, маю, несколько н т.п.), нечеткие истинностные значения (существенно истинный, очень истикный, бояае или менее истинный, ложный и т. п.), а также иные нечеткие понятия (молодой, редкий, дорогой, красивый, почти невозможный, невероятный и т.п.).
Лингвисттеской называется переменная, значениями которой являются снова или предложения естественного или искусственного языка. Например, ВОЗРАСТ-можно рассматривать как числовую пе ременную. а можно рассматривать как лингвистическую переменную, принимающую следующие лин|-вистические значения: о<шньмолодой, молодой, вполне молодой, не молодой, не Aio.iadoii и не. очень старый, старый и т.п. При ттом для каждого го перечисленных значений нуж но задал характеристическую функцию, называемую смыслом этого
Лингвистическая переменная описывается набором: (X ВД, U.G.M),
а котором:
205
Л1-название лингвистической переменной, Т(Х) - множество лингвистическихзначенийпербмекнойХ\ U - универсальное множество;
G - синтаксические правила, порождающие значения перемен ной, т е. правила определения лингвистических значений;
М - семантические правши. которые ставяг s соответствие каждо музначению переменной ее смысл, т.е. характеристическую функцию.
Отметим, тю при определении U и T(Xl множество понимается в обычном классическом смысле, а не имеются в виду нечегкие мно жества. Причем всюду, когда имеем дело с нечеткими множествами,
то это означает, что нечеткости пет. Кроме того, отметим, что мно жество U мажет быть как конечных!, так и бесконечным, а множестве
Стругауру лингвистической переменной можно представить
Трактовка истинности как лингвистической переменной приво дит к нечеткой лингвистической логике, которая существенно отлича ется от двух- и многсиначном логики. 3ia иечегкая логина является основой того, что уожно было бы назвать приближенными рассужлс-
206
Лингвистическая переменгия ИСТИННОСТЬ м. аиримср, следующие лингатличесние значения:
существенна истинный, очень, очень истинный, очень истинный,
существенно мжньш |
|
Смысл каждого знамени |
некоторой функцией ирннад- |
18/Кностина базовом множгсп |
|
Функцию принадлежнс |
|
1апример, с помощьювиража |
|
Тогда носителем it мия истинный является отрезок [о,1] (рис 5.5). Для значении ножчый функцию принадлежности, иапример, можно задать выражением'. = Цкт'.иивП-*) (график на рис. 5.5).
207
В некоторых случая* считают, что Uесть конечное множество, например, Г>{0; 0,1; ОД "ЛЗ; ...| 0,9; 1}, которое записывают
виде; У=и-г0.1+0>0,3’--’-‘),^1-
При таком ааданин U функцию принадлежности значения истинный можно определить, например, так:
астниньш=0,5/0,7+0,7/0,8+0,9/0,9т1/1, где, например, пара 0,5/0,7 озпачвет, что совместимость значения истинности 0,7 со значением истинныйравна0,5.
На множестве лингвистических переменных вводятся логические, операции - связки ; ,&,v. Ясно, что эти операции будут уже не столь тривиальны. Здесь нужно будет различать, например, соединение союзов «и» лингвистических значений (положим, истин ный и иеисттшый) от-Союза «и» в высказывании «ИСТИННЫЙ
инt ИСТИННЫЙ»
Построечная таким обрмом нечеткая логика используется Втак называемых приближенных рассуждениях. Приближенные рассужде ния лежат в основе способности человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в шахматы, принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Данная логика интен сивно исследуется и находятся ее приложения: используется в экс пертных системах, о системах, читающих рукописныйтекст и т.п.
§ 6. Модальные логики
Назначение различных систем модальной логики состоя А, чтобы включить в логику так называемые модальности - прежсего нюбхо&имгхт: и возможности-, того, что адолягии быть», •о, что «можем быть».
Обычно говорят, что высказывание логически необходимо, если его истинность может быть установлена независимо от опита или чисто логическим ггутсм. В мпдалькой логике из необходимости высказывания вытекает era истинность, но не наоборот. Высказыва ние иoi'o отрицание не могутбыгь вместе необходимыми.
Необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. С самого '^рождения логики было подмечено различие между истинными высказываниями, являющимися таковыми в силу необходимости, и высказываниями истинными случайными, возможными.
Развитие модальнойлогики можно разбить на три периода.
Кпервому периоду относэтся зарождение модальной логики
аантичности и некоторое развитие в средневековье. Модальности бы* ли введены Аристотелем, который считал, что термин «возможность» имеет различный смысл. Аристотелем введены а наследованы модальные силлогизмы и некоторые другие аспекты модальности. Провод» исследование ариателевокой логики, Лукасспич заключает, что в работах Аристотеля можно найги все элементы, необходимые д.та построения полнойсистемы модальной логики, однако Аристо тель исходил из двузначной логики, я то время как модальная логика не может быть двузначной. R идее многозначной логики Аристотель подошел вплотную, рассуждая о «будущем морском сражению). Сле
дуя Аристотелю, Дукасевич в 1920 году построил трвхзиачную логи ку. Тем самым выявляется идейная связь между модальными н много значными логиками.
Второй период связан с появлением работ К. Лыоиса (примерно 80 лет назад). В этот период строятся формальные системы [исчисле ния) модальной логики, выявляются различные черты модальных по нятий. Идея Лыоиса состояла в проведении различия между связками, выражавшими логическую необходимость, и связками, не выражаю щими такого рода необходимости.
Для третьего периода, начатого работами С. Крипке (конец 19SD годов], существенна выявление внутреннего единства различных систем, казавшихся ранее никак tie связанными между собой.
209
Приведем описание модальной системы SI |
К. И. Льюиса |
|
(согласно [131). В языке исчисления вводятся сииволы: |
|
|
1)p,q, ''.. .-сжаолы для высказываний, |
|
|
2) |
—отрицание, конъюнкция (логическое произведение), |
|
возможность; |
|
|
ЗШ |
-скобки. |
|
Определите формул: 1) каждый из символовp,q/,... считается |
||
формулой; |
2) если А к В формулы, то следующие выражении тоже |
|
формулы: |
|
|
~А -отрицание^; |
|
|
ОА - возможной; |
|
|
А-;ВЛ= ~((~А)<~В)У, |
|
|
АэВ - ~А'/В - материальная импликация |
(отметим, что |
в материальной импликации высказывание AziB истинно, если А ложно, что не всегда удобно. Почему, налример, из того, что 2x2=5 следует, что Иванов - студент. В строгой импликации это уже устраняется);
A< В = (А- ("В)) - строгая импликация Льюиса. "Л< В»
читается «А имплицирует 8» (ЗдесьА-< В выражает сгрогую имтшкапито 8 отличие от ранее рассмотреннойА^В. В строгой импликации из ложности высказывания 2*2"5, не следует, ч-to Инанов - студент, ибо должно быть, чтоА-< В необходимо вегикно);
А*В = С4-<В) -(В«;Л),+ -знакстрогойчквипглеитиосги;
А =В = (А^В) ■(ffrv))- материальная эквивалентность. Аксиомы:
210