Ш.И._Галиев_МЛ_и_ТА_2004
.pdfЛитера называется позитивной, если она не содержит отриид-
Дизъюнкт D называется хорновекли, если он содержи не более оддой позитивной литеры. Примеры хорпооских дигьюнк-
TOV. Л, |
В, \i, 1 S, |
Tiv I CvB, 1 Av \ 8, |
ylvlcV CvD. |
В общем |
случае |
хорновский |
дизъюнкт мо«но |
представить |
а виде |
"U]v”kiv..,v"k,ivtf или 1jiivl ,4iv...v"li4„. nil, кли А. При этом дигь-
шнкт |
1 |
X]v| Atv...v A„vB назыпают точным, |
дгаыомкг |
\Л'У |
|
]Л,~ негативным, едизъюнктА - унитарным патчив- |
|
ит дизъюнктом. |
|
||
|
Рассмотрим множество Л' хоркокких дазьюнктоп бет iанало |
||
гий |
Невыполнимость можно проверить г помощью следующего |
||
алгоритма. |
|
|
|
|
:. Полагаем; чтоS^=S |
|
|
|
2.Пусть S*'1, >el, построено. Дл* построения S'' |
выбираем |
|
н5Х“'лизъюнх1ыД1и£>1та«ие,что: |
|
||
|
О, - унитарный позитивныйдизъюнкт, пусть, напримгр, Di=P; |
||
|
Di - дизыанШ1, содержащий литеру 1 Р. |
|
|
|
Вычисляем резольвенту R для дизьюнетов О, и Oj и полагаем, |
||
что S" = |
£>з})и{Д(. Эту процедуру повторяем до тех пор, пом |
не получим пустой дкгмоист О либо пока не окажется, что в S несуществует датькжктоаД и Ojуказанны» видов,
пустого дизыонетаозначает, что множествоS хорнопски»дизъюнктов невыполнимо. Если же окажется, что S”1 не содержит дязыонктов Oi и Dt указанных видов, то исходное множено S хоркояских ди'льюнктоь выполнимо.
Реализацию этогоалгоритма проще проводить с помадьш таблицы. Продемонстрируем это на примере. Пусть имеем множество хорнпвеких дитаоншов; S={Pvl Qvl В, Г, g iivl АЛ gvl U, Sv] Т, 1 fv l gvl Z}. Вапишем шуыимпи ю - S в ячейки нулевой строки приводимой далее таблицы. Каждая п-я строка содержи! дизъюнкты из S", п 2 0.
Дизъюнкты
л1л/1еЛь IЯ\Лт ’Pv'fivl
пупойд«зккшкт П, следовательно, множество Sхорноаскяхдкгьюниов
§ 8. Преобразование формул логики предикатов. Сколомовская стандартам форма
Из предыдущей главы известно, что любую формулулют ки предикатов можно представитьв предваренной нормальной фирме,
т.е. о виде; QiQi-.Q.JI, raeQ-.,Q^ ,Q„- некоторая совокупног-гькван торов. а формулаВ несодержи?кван/оров.
102
Для формула А ~ Q<Qi..Q£ совокупность квантора» QiQ:, . ,у.| считаете? префиксов формулы-4. а формулаflматрицей фирмулы А. Будем дополнительно считать, чго чаг-рищ приведена к
конъюнктивнойнормальной форме. |
||
Очевидно, |
что формула |
А является противоречивы тогда |
и только тогда, |
когда 1 А |
явлистся логически общезначимой. |
Из снойствформул (см. § 5 га. 2) следует, что формулаВ является ло- I «чески общезначимой тогда и только тогда, когда логически обще значимо замыкание Ji* формуда в. Кек известно, замывание В* фор мулы В получается приписыванием к й кванторов вссо5шноети по псем ее свободным переменным
противоречивости будем |
считать, что имеем дело только |
с замкнутыми формулами, |
ибо вели тто не так, то моигао добиться |
Осуществим следующие преобразования формул логики преди катов(формулызаписаны с использованиемсвязок1,=>):
2)лобьемся того, чтобы 1 относилась только к элсмеи-гарныи формулам: это можно сделать, используя Правила перенесения отрицания nepei кванторы ияакиныде Моргана;
3)проведем стандартизацию (переименование) переменных для
4)вынесем кванторы зо скобки, т.е, получим предваренную нормальную форму:
Л - Q\X\ Q&2- QrfJf, здеоь В - матрица формулы, a QiXiQiXi.-Q^,,- пре^ткс (совокупность кванторов). Будем считать, чтоматрица приведена к коньюнктивкой нормальной форме;
5) проведем исключение кванторов существования введением
сколемооеюк функций (SkoltmТ). |
|
|
||
Осуществим |
это |
следующим |
образом. |
Пусть |
л w Q\*I, Qff-ъ- ; УА-9, где 2|Х|,б»*г,-.бл*п ~ кванторы всеобщно сти или существования. Положим, что фс, - квантор существования
1 |
1 |
I |
3 |
«й квантор всеобщ- |
кости не стоит е префиксепемг Q,x, то выбкраеь1новую предметную |
||||
постоянную с, |
отличную |
от вмх предметны»: постоянных в В. |
н заменам все х„ встречающиеся в г, «а с и аычвркиваеч fl* из префикса. Покажем это на примере. Пусть имеем формулу 3*Чу(Р?(;дО=»0?(х,в)). Тогда для TOMIIOTEмня квантора Зх введем постоянную с. В ргаультате tюлучим формулу:
Рассмотрим другой пример Пусть имеем формулу 3«3yVj(Pf(4 .,x)=je|(fl,6,v№ Тогда исключая ""ангоры существоаания. получим:Vz(Pj(c,rfj)=> Q‘ (a.b.c.d)).
«тречак-идихс*пенсекмнкра cyupenonnuQjt,f 1< si< 5i<... < j„< n, то выберем новую ет-местную функциомльную букву/", откичную
от других функциональных 6)16, |
аз Л, и шмпхч все J, в В |
|
на /"(« 1Гс , |
ивычеркнем близ префикса. |
|
Пример. Пусть имеем форму |
Ввей» |
|
Vx(\/\x,Mx))vQlfM,fmy |
' |
|
Пример. |
Пусть ниим |
формулу: 'ix'Vy2z(P(xj'j=/ |
(х)^гй(г)))), Вводи необходимую функцию и исключая импли
кацию, получим: VJ VJO ^ K ад^)/М ЛШ *,У)))])- Проводим описанную процедурудо тех пор, пока пе исключим
ке хмнторы существования. Полученная в результате формула есть
сшековская стандартная ферма, я а краткости стандартное форма формулыА. Константа и функции, используемые для замены переменных кваеторя существования, называются лгалсдимошш
Праиер Пустьимеем формулу 5*w)). Приведем матрицу формулы к к.н.ф.:УгЭуЭй1 и^)'/5(х^л))&(Л(х;) vS(xyj)). Затеи введем функцииЛ*Х&Y
лО ^Д г)К Полученная формула является стандартной формой неходкой
формулы.
(ятерт) чакте првдшгатое.
Дизъюнктом «логике предикатив вазьшаютдизъюнкцию лите-
Иногда цгпгралы или датюкеты нгныааюг ыоукши (clause -
Пусть формула А приведено в предареиную нормальную фор му, а и матрица представлена I к.я.ф., т.е. -<=<6
{Q)X,Qibi...Q^n)Di&Di&...&D*, гдб (Q#XQ£*I-Q J , \ - префикс фор мулы А, 1 Д А ..-Д . -аюыонкты Попоиии, чгосгандаргнля форма дня А равна ArtQ^tQtXT £а)'С,&С,&...&С„, где в префиксе опутана кканторысущсствопаим, а С, полненыщ D,(!<]<«) вееде-
Отшгич, что стандартная форма А, формулы Л определяете» не единственным «Сразим, ибосколемово'иефункцииможно плодить
Имеетместоследующаятеорема.
Пустьимеетсятолькоодин кванторсуществование Qj:;.
/4—Wc>...VXAO3*,Кс„ |
|... J^»2. . A ) |
Положим Л "* : |
..... |
*ж!--лО,ГдеД*!,*ь...Л!)-™олеиовбкал функция. |
|
Покажгы, чтоА лрвтнюрсчивятогяа и только тогда, kgiаипро- |
Пусть А - протаворечис. Допустим, что А, не противоречие, следовательно, существуй интерпретация, в которой А, выполнима, т.й для V,f,,V*2,... ,W,-I Jl, =.Дх|Л.... *.l). ’ ТО при VXh-i,.. ,Vx, фор мул* В принимает эначмше "И", а это противоречит тому, что Л - противоречие. Окдовагелыю,А,-противоречие.
Обратно, пусп. Ai - противоречие. Допустим, что А - непроти воречив, т.в. существует интерпретация:, и которой А - выполнимо.
Следовательно, |
дл* |
^i,Vr2;...,Vxr., найдетгв |
х, |
такое, |
что при |
||||
Vr,ii,...,Vr„ |
формула |
В примет |
значепне |
И |
Введем |
функцию |
|||
Д*|....,х№0 = *г Тогда ясно, |
что А,■■■■Я, что |
противоречш |
условию |
||||||
As - противоречие. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
в |
префиксе |
имеется |
т кванторои |
существовании, |
||||
to доказательство провоартсяаналогично. |
|
|
|
|
|||||
Смданш II. ЕслиА- противоречиеи-4,=© |
|
OjCi&Cifk. |
|||||||
т А -С Ж г й |
&Q,. |
|
|
|
|
|
I |
||
Следом!и 5.2, |
ГСуси. А, - стандартная ^орча формулы А н! |
||||||||
пустьА -противоречие. Ти-даД, ~/t. |
|
|
|
I |
Отметим, иго если А не явллегса противоречием, то может быть, что А ие рммосичыш А,. Например, пусть А - ЗдД-с). Тогда
А,=Р{а). Построим интерпретацию. Пусть область интерпретации УЛ=\\2). Положим, чтоо=1, a Ил) обозначает предики <« - чгтное
1D6
число». ТогдаА=Р(Г) обозначает. «1 - четноечисло)! Следовательно, формулаА, ложка в этой интерпретации. Формула/! вэтой интерпре тации предгвв.иет истинное высказывание. 3rf<u - четное число»). Таким образом,дл>даннойформулыЛ форотлыЛuAs неравносильны.
§ 9. Унификация
Процесс унификации является
ш резольвент(длямещдарезолюций). Пусть задано множество дизъюнктов. Калцый
Пример. Пусть имеемследующее мно:кестоодизъюнктов:
Дизмликт Дизъюнкт
Термы литерала могут быть переменными, нопоянныки клн выражениями, состоящими из функциональны): буке н термов. Например. Дл» литерала PU. {!у): Ь) имеем, что t - переменна»,
Подананозоиный частный иртой мтраяа получается при подстановке в лотералытермов«место переменных. Пусть имеем ли* «рал fluffy). Ь).Кгочастнымислучаями5удут:
Л -Л * м .» ). Pj = Р(х,Лм 4),
Р*-* Р{с,Яо), Ь)- константныйчсктшыаагучайяшперма
Подстановки, примененные 8 рассматриваемом примере, можно обо значитьследующимобразом:
9, " {г/дш'у}, здесьг подставляетсявместох, aw вмкто.у, 9,-<«(>};
3j - {^ф:, Ыу)\ 9, - {eftc а!у\.
Применение подстановки 0 к литералу Р обозначаем Д, Тогда
вм“ м |
А>,“ Л. |
А, = \ |
|
Рь -Р г, |
PS)- ft. |
Вели6 - подстановка и она применяется к каждому из литера лов £/,то полученныечастные случаиобозначаются через {A}s
Последовательное применение двух подстановок 0[ и 6j даст новую подстановку93, которуюобозначаем0. - Я, •9;.
Множество {!,( литералов называется унифицируемым, если существуеттакая подстановка0, что
№,)в-(У .-
Вэтом случи подстаноекуО называютунифтапором iwt {£>).
Пусть инеем множество литералов (Да, fy). b). Р{х- Л*). &)}. где£, =Р(х, fly), b), Li =P{a,ftb), 4), Подстановкаб = {ст/х, Ыу) явля ется, очевидно, унификаторомдля этогомножествалитералов.
Унификатор о дл* множества выражения {£i,i^....£>) называ ете» наиболее общимунификатором Тогда к только тогда, когда для каждого унификатора 0 дня иого множества существует тагая под-
Сусцествует алгоритм, называемый алгоритмом унификации, который приводит к наиболее общему унификатору для унифицируе мого множества литералов {£,} и сообщает о неудаче, если это мно жествоне унифицируемо.
Алгоритм унификации: Алгоритм начинает работу с пустой подстановки н шаг зашагомстроитнаиболееобщийунификатор, если
Ш
таковой cyioecreycr. Предположим, что нак-и шаге получена подстпновка 0» Если все литералы из (£,,) о речупьтате. становятся идентич ными. то 0 = 0* и есть наиболее общийуЕТнфикатир. Q противном слу чае каждый ич пстгералов в (£i}g, рассматривается как цепочка символоп и наделяется позиция первого символа, в которой не все из лтсралав игйсш'1 одинаковый символ. Рассмотрим пример tttyx лите ралов. Стрелками пометки позиции, где появились различные симво лы (при просмотре слева направо):
{Р(а, На, ё(г)|, Ш)), Pl.aJ.a, Ч ?(w))) .
1 _• >
Затем конструируете.» множество рассогласования W, содержа щее правильно построенные выражения из каждого литерала, которые начинаются с позиции рассогласования (правильно построенное ныражение представляет ообоЯ либо терм, либо литерал). Так. для рассмотренного примера множеством рассогласования будет
Далее модифицируем (еспн можно) подстановку 9|, чтобы уст ранив это рассогласование. Пусть существуют такие элементы и и (
вмножестве рассогласования W, что и - переменим, не входящая
вэлемент (терм) I. В таком случае заменяем в литералах перемен ную и глеметом (термам) t из W. Если множество рассогласования W не содержит элементов с указанным свойством, то множество литера-
Можнодоказать, следующуютеорему.
I Теорема 3.9 (теорема Робинсона). Описанный алгоритм нахпндит наиболее общий унификатор для множества унифицируемых (литералов н сообщает о неудаче, если литералы неунифицвруемы.
Рассмотрим пример. Пусть S = {Р(а, х, Ш у))), Р[г.А*),М)1- Найдем общийунификашр.
109
1. Пустая подстановкае :
So “ S - не единичный дизъюнкт, следовательно, не получили наиболее обшибунифиютр
2.Множестворассогласованииразно: H'o-fa.*],
следовательно, 6, = е° {я/г}. тогда^ -Je, - {Р(а. x.j[&))), P(a,J{u).
/00)!. " не-единичныйяюъюнкг.
3. Множество рассогласованийдляSi равно.
тогда 0,-8,» {/(«У*} - {a/i.Л ф ), и S, - 5¼ - {П я,А *)\Ш ). Р(а,Да),Дн))}. Sj - не единичныйдизъюнкт.
4.Множество рассогласованийдля& разно: *» = {g<у\и).
тогда вновь строим: 9, = 82« (gOy*) ~ {ate,j{a)/x,g(y)lu} и
S i - \ m № |
M l- М у)). /*(«.Я°1 М Ш \ “ |
№ . Д°)>М М )- |
Si - единичной |
дизъюнкт, следовательно, 9i |
наиболее общий |
унификатор. |
|
|
Рассмотрим еще пример. Пусть S - {£№). g(i)), Q(y, у)). Пус |
та» подстановки б; So = S - не единичный дизъюнкт и №ц = {/(а), у), Si = t ' У Ш = № W . S, = SB| » {QfM. т . Q M Да))}, Sj - не едвииоиыйдюиоткт; Г, = Ш Ш
Следовательно, алгоритм унификации завершается, делавм заключе ние, чтоS неунифицируемо
Нясшы®> могусудить, зтоодинюпегнескжных оучлеа, ктврш «рвмишйжетрудны {ШерлокХоемс).
Д1Д«1|.
§10. Метод революций в логике иреллкатои
Влогикевысказыванийметодрезолюций применялся кмножеству дизъюнктов, которые,былиформуламилогики высказываний.