9.2 Расчет передаточной функции

По заданному дифференциальному уравнению объекта в распределенных параметрах необходимо получить выражение для его передаточной функции, построить оценочную ЛАЧХ и ЛФЧХ, аппроксимированную инерционно-форсированными звеньями ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также записать выражение передаточной функции через типовые звенья.

Исходное дифференциальное уравнение с соответствующими начальными и граничными условиями, нормирующая функция, функция Грина и континуальная передаточная функция, имеют следующий вид

; (27)

; ; ,

где ; ; ; ;

;

;

(28)

где - последовательные положительные корни уравнения .

- это скалярный потенциал электромагнитной волны, распространяющейся вдоль цилиндрического провода.

Уравнение (27) является волновым уравнением электромагнитных колебаний поля в плоскости сечения цилиндрического провода, происходящей в изоляционной оболочке провода.

R – радиус провода вместе с изоляцией (радиус провода с изоляцией много больше радиуса провода без изоляции), R=0,001 м.

Величина - скорость распространения электромагнитной волны в диэлектрической среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной , причем - скорость света.

В начальный момент времени .

Граничные условия

,

где E_mx – амплитуда напряженности электромагнитного (ЭМ) поля. .

- частота возбуждения ЭМ-волн. .

Подадим на вход синусоидальной воздействие - переменное напряжение, частотой 3,210⁶ Гц и амплитудой 5 В.

где F=5 В.

Нормирующая функция примет вид

Решение искомой функции запишем в виде

Изображение по Лапласу от выходной величины

Найдем изображение по Лапласу

Выделим входной сигнал

(29)

Интегральная передаточная функция с учетом формул (28) и (29)

Решаем отдельно каждый интеграл

где

т.к.

Интегральное выражение , решение выполняется аналогично интегральному выражению I₃, т.е. .

Таким образом получим следующую интегральную передаточную функцию

Подставляя численные значения, получим

(30)

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ полученной континуальной передаточной функции заменим p на j. В результате подстановки и после некоторых преобразований получим

(31)

Запишем действительную U() и мнимую V() части полученного выражения

Амплитудно-частотная (ЛАЧХ) L() и фазо-частотная (ЛФЧХ) () логарифмические характеристики, определяются по формулам

;

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ приведены на рисунках 10 и 11 соответственно.

Произведем аппроксимацию полученных характеристик типовыми звеньями. Для этого из графика ЛАЧХ определим значения сопрягающих частот _i и, соответствующих им постоянных времени Т_i

₁=510⁷ с^-1; T₁=210⁸ c;

₂=6,310⁷ с^-1; T₂=1,5810^-8 c

Выполним аппроксимацию ЛАЧХ с помощью интегрирующих, инерционных и форсирующих звеньев. Характеристика, приведенная на рисунке 10, может быть аппроксимирована ломаной линией, составляющие которой соответствуют асимптотическим характеристикам типовых звеньев:

Тогда аппроксимированная передаточная функция примет вид

, (32)

где k – коэффициент, равный значению функции L() в точке =1 с^-1.

Из графика находим, что 20lgk=66, откуда k=210³.

Из аппроксимированной передаточной функции (32) получим следующие уравнения для построения графиков аппроксимированных ЛАЧХ и ЛФЧХ, [ , стр. 115]

;

Графики аппроксимированных ЛАЧХ и ЛФЧХ изображены на рисунках 10 и 11 соответственно в виде функций L_a() и _а().