vostrikov

которое, если принять обозначения

Как видим, уравнение нелинейного звена (10.11) с точностью до высших гармоник является квазилинейным. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала A коэффициенты гармонической линеаризации q1(A, ) и q2 (A, ) являются постоянными. Однако раз-

личным значениям амплитуды A соответствуют разные коэффициенты q1(A, ) и q2 (A, ) . В этом заключается отличие гармонической

линеаризации от обычной (см. разд. 8).

Таким образом, вместо нелинейного элемента с характеристикой (10.5) можно рассматривать эквивалентное линейное звено, поведение которого описывается уравнением (10.11). Оно может быть представлено в операторной форме

Для гармонически линеаризованного нелинейного элемента можно записать передаточную функцию

и получить из нее выражение для частотной характеристики

342 Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

В случае статической нелинейной характеристики вместо (10.5) имеем

uf ( )

иуравнение (10.12) принимает вид [6]

сят только от амплитуды. При этом получим передаточную функцию

статического нелинейного звена.

Для однозначной статической нелинейной характеристики коэффициент q2 (A) 0 , и вместо (10.14) получим

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых статических нелинейных звеньев приводятся в литературе (например, в [6, 40]).

ПРИМЕР 10.2

Определить эквивалентную передаточную функцию нелинейного звена, которое представляет собой идеальное реле (рис. 10.5).

Далее, учитывая полученные выражения для передаточных функций гармонически линеаризованных нелинейных элементов (10.14), (10.17), рассмотрим соотношения метода гармонического баланса.

10.2.3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Если в системе, изображенной на рис. 10.3, гармонически линеаризовать нелинейный элемент, заменив его эквивалентной передаточной функцией WНЭ ( p, A, ) , то она становится линейной (рис. 10.6). Сле-

довательно, в этом случае для анализа свойств системы можно применять методы линейной теории управления.

Рис. 10.6. Структурная схема гармонически линеаризованной системы

Как известно, в линейной системе (при отсутствии синусоидального сигнала на входе) незатухающие колебания будут возникать лишь в том случае, когда она находится на границе устойчивости. Таким образом, для определения автоколебаний в исходной системе (см. рис. 10.3) необходимо рассмотреть условие границы устойчивости линеаризованной системы. В соответствии с критерием Найквиста в этой ситуации амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы должна

Это уравнение и представляет собой основное уравнение метода гармонического баланса, из которого можно определить параметры автоколебаний. Если (10.19) не имеет положительных вещественных решений относительно A и , то автоколебательный режим в нелинейной системе не возникает.

Для решения основного уравнения метода гармонического баланса были предложены различные способы, которые мы далее последовательно и рассмотрим.

10.2.4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ

В этом случае для определения границы устойчивости линеаризованной системы удобнее воспользоваться критерием Михайлова. С этой целью решим характеристическое уравнение системы (см. рис. 10.6)

заменив в котором p на j , получим условие границы устойчивости согласно критерию Михайлова

Заметим, что (10.21) есть преобразованная форма записи основного уравнения метода гармонического баланса (10.19).

Выделяя вещественную и мнимую части F( A, j ) , получим соотношения

Re F ( A, j ) 0,

(10.22)

Im F ( A, j ) 0,

которые позволяют аналитически вычислить параметры автоколебаний

A и .

ПРИМЕР 10.3

Определить параметры автоколебаний в системе (см. рис. 10.3), если нелинейный элемент представляет собой идеальное реле (см. рис. 10.5) с уровнем ограничения c , а линейную часть описывает передаточная

2

функция Wл ( p) p( p2 p 1) .

10.2.5. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ НА ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

В некоторых случаях возникает необходимость оценить влияние одного из параметров системы (обозначим его ) на автоколебания. При этом уравнение (10.21) принимает вид

F(A, j , ) 1 WНЭ (A, j )Wл ( j , ) 0 .

Следовательно, соотношения (10.22), кроме параметров A и , содержат :

Re F ( A, , ) 0,

(10.23)

Im F ( A, , ) 0.

и построим соответствующие графики (рис. 10.7).

A

A0

теме будут возникать периодические процессы с определенной амплитудой и частотой ( A0 и 0 ).

10.2.6. СПОСОБ ГОЛЬДФАРБА

Решение основного уравнения метода гармонического баланса (10.19) относительно амплитуды и частоты автоколебаний можно получить графически.

В способе Гольдфарба [6, 19] предлагается решить основное уравнение относительно частотной характеристики линейной части системы следующим образом:

Затем на комплексной плоскости строятся амплитудно-фазовая характеристика Wл ( j ) и характеристика, соответствующая нелинейному элементу, т. е.

Если эти две характеристики не пересекаются, то периодических процессов в нелинейной системе не возникает.

При наличии пересечений частота автоколебаний определяется по частотной характеристике линейной части системы Wл ( j ) , а амплитуда – по характеристике нелинейного элемента в точке пересечения.

Поскольку в общем случае точек пересечения Wл ( j ) и характери-

стики нелинейного элемента (10.26) может быть несколько, в системе могут возникать соответствующие им периодические процессы различной амплитуды и частоты. Причем часть из них будут устойчивыми, а часть – неустойчивыми.

Устойчивость найденного колебательного режима позволяет оценить следующее правило (оно не является строго обоснованным, но зачастую оказывается полезным). Если при движении по обратной частотной характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение амплитудно-фазовой характеристики линейной части «изнутри наружу», то этой точке пересечения соответствуют устойчивые колебания (автоколебания). В противном случае колебания будут неустойчивыми.

ся в двух точках. Это означает, что в системе могут возникать два вида колебаний.