vostrikov

9.10. Решая матричное уравнение Ляпунова, проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид

9.11. Решая матричное уравнение Ляпунова, проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид

9.12. Вторым методом Ляпунова проверить устойчивость системы

Риc. 9.9. Структурная схема замкнутой системы к задаче 9.12

9.13. Вторым методом Ляпунова проверить устойчивость системы

9.14. Вторым методом Ляпунова определить устойчивость системы, уравнения которой имеют вид

x1 x2 ,

x2 5 x1 3x2 .

9.15. Вторым методом Ляпунова определить устойчивость системы, уравнения которой имеют вид

332 Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

9.16. С помощью функции Ляпунова

V (x) 0,5 3x12 2x1x2 x22

проверить устойчивость системы, математическая модель которой имеет вид

9.17. Определить устойчивость системы, структурная схема которой представлена на рис. 9.10.

Рис. 9.10. Структурная схема системы к задаче 9.17

9.18. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (рис. 9.11) с однозначной нелинейной характеристикой u f ( ) , 0 f ( ) 3 ,

если

Рис. 9.11. Структурная схема нелинейной системы к задаче 9.18

9.19. Проверить условие абсолютной устойчивости системы (рис. 9.12)

334 Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Г л а в а 10

АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ

ВНЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Вглаве 5 мы показали, что качество работы линейной системы можно оценить различными способами без непосредственного

расчета переходного процесса. Отметим, что задача имеет смысл только для устойчивой системы, и это априори всегда предполагается.

Поскольку характер процессов нелинейной системы, как и ее устойчивость, существенно зависит от значений внешних воздействий и начальных условий, методы линейной теории неприменимы. Трудности анализа и оценивания процессов соответствуют сложности решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Одно время казалось, что возможности второго метода Ляпунова позволят разработать регулярные процедуры оценки частных решений дифференциальных уравнений, т. е. переходных процессов автоматических систем. К сожалению, метод Ляпунова дает слишком завышенные соотношения, которые на практике не применяются.

Таким образом, к настоящему времени не разработано общей теории анализа процессов в нелинейных системах, существуют лишь методики, которые позволяют решать отдельные задачи. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из них.

10.1. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Метод фазовой плоскости применяется для анализа свойств систем второго порядка и основан на использовании аппарата пространства состояний. Суть метода заключается в отображении частных решений дифференциальных уравнений в совокупность фазовых траекторий.

336 Глава 10. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Обсудим способы построения фазового портрета системы, математическая модель которой имеет вид

раметр. Отметим, что если оно изменяется, то векторное поле будет управляемым. Здесь полагаем u const и его численное значение учтем в соответствующих функциях, что позволяет модель (10.1) записать в форме

В принципе, задавая множество наборов значений x1 и x2 , можно получить поле векторов скорости (рис. 10.1) и, двигаясь вдоль них, по-

аналитические способы построения фазового портрета системы, одним из которых является способ изоклин, когда не требуется информация о значениях вектора скорости.

Изоклиной называют линию в пространстве состояний, соединяющую все точки пространства с одинаковым наклоном фазовых траекто-

откуда чаще всего удается получить явное аналитическое описание семейства изоклин

до +∞, получим из (10.4) совокупность конкретных изоклин. Следует отметить, что чем больше построено изоклин, тем полнее и точнее будет фазовый портрет, технику построения которого поясним на примере.

ПРИМЕР 10.1

Построить фазовый портрет системы, поведение которой описывает уравнение

y 0,5y y 2u ,

при численном значении управляющего воздействия u 1 . Предварительно перейдем к описанию системы в переменных состоя-

В соответствии с (10.3) определим коэффициент наклона фазовых траекторий:

Придавая коэффициенту k определенные численные значения, получим уравнения конкретных изоклин (табл. 10.1).

а все линейные звенья объединены в одно с передаточной функцией Wл ( p) . Структурная схема рассматриваемых систем изображена на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Структурная схема исследуемой системы

Метод гармонического баланса пригоден для исследования автоколебательных систем практически любого порядка, но требует обеспечения условий хорошей фильтрации возникающих на выходе нелинейного звена гармонических составляющих сигнала (выше первой гармоники).

В основе расчетных соотношений метода гармонического баланса лежит способ гармонической линеаризации нелинейного элемента [6, 19], который мы далее и рассмотрим.

10.2.2. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Под линеаризацией понимают приближенную замену нелинейной функции линейной таким образом, чтобы по како- му-то выбранному показателю обе эти функции

совпадали. В способе гармонической линеаризации нели-

нейный элемент (рис. 10.4) заменяется квазилинейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале

Asin( t)

из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена.

Рассмотрим процедуру линеаризации для нелинейного элемента, уравнение которого примем в виде

При поступлении на его вход гармонического сигнала (10.4) на выходе звена в установившемся режиме также будет периодический, но несинусоидальный сигнал

нейной характеристики (10.6).

С учетом (10.6) коэффициенты ряда Фурье (10.7) определяются известными соотношениями

Используем только первые члены ряда разложения в (10.7), пренебрегая высшими гармониками, и получим

После подстановки (10.9) в (10.8) получим выражение для выходного сигнала нелинейного звена