vostrikov

и запишем дифференциальное уравнение состояния (9.22) в следующей форме:

Как видим, (9.23) представляет собой квазилинейное уравнение для переменной z . Для анализа устойчивости такой системы используем функцию Ляпунова в виде квадратичной формы (9.18)

Определим полную производную функции Ляпунова (9.24) по времени

V (z) zT z zT z

в силу системы (9.23)

V (z) zT A(x)z zT AT (x)z .

Согласно теореме Ляпунова исходная система будет асимптотически устойчива, если производная (9.25) будет отрицательно определенной функцией. Поскольку полная производная функции Ляпунова имеет квадратичную форму, ее знак определяется знаком матрицы

который и следует проверить для анализа устойчивости системы

(9.21).

ПРИМЕР 9.4

Проверить устойчивость системы, поведение которой описывает уравнение

x 5x x3 .

Функция f (x) 5x x3 однозначная, поэтому введем новую переменную

z 5x x3 ,

для которой запишем дифференциальное уравнение z A(x)z ,

Выбирая в качестве функции Ляпунова квадратичную форму (9.24), получим ее полную производную в виде (9.25). Оценим знак функции

A(x) AT (x) 2 A(x) 10 6x2 .

Эта функция отрицательная во всем диапазоне изменения x . Следовательно, система асимптотически устойчива.

Заканчивая обсуждение второго метода Ляпунова, отметим, что он дает достаточные условия устойчивости. При этом «запас» устойчивости может быть очень большим, но оценить его количественно удается лишь для частных классов систем. По этой причине второй метод Ляпунова чаще всего используется при выводе вторичных критериев устойчивости.

9.4. ЧАСТОТНЫЙ СПОСОБ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ

9.4.1. ТЕОРЕМА ПОПОВА ОБ АБСОЛЮТНОЙУСТОЙЧИВОСТИ

Для исследования устойчивости систем со статической нелинейной характеристикой, удовлетворяющей определенным ограничениям, В.М. Поповым был предложен простой способ [6, 30], аналогичный частотным методам анализа устойчивости линейных систем.

Этот способ позволяет оценить так называемую абсолютную устойчивость, т. е. экспоненциальную устойчивость «в малом» при любой форме нелинейности из ограниченного диапазона.

Обсудим суть метода для системы, структурная схема которой изображена на рис. 9.3 при условии, что v 0 .

Рис. 9.3. Структурная схема комбинированной системы

Нелинейный элемент (НЭ) представляет собой однозначную статическую характеристику произвольного вида, удовлетворяющую ограничениям

что соответствует заштрихованным секторам на рис. 9.4.

324 Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Все линейные звенья системы объединены в одно с передаточной

функцией Wл ( p) B( p) , причем линейная часть должна быть устой-

A( p)

чива, т. е. Re A( p) 0 0 .

Приведем без доказательства формулировку теоремы [6]. Нелиней-

ная система будет абсолютно устойчива, если можно подобрать такое конечное вещественное число h, при котором выполняется неравенство

9.4.2. ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УСЛОВИЙ ТЕОРЕМЫ

На практике вместо условия (9.28) удобно использовать его графическую интерпретацию. С этой целью подставим в неравенство значение Wл ( j ) :

Введем видоизмененную амплитудно-фазовую частотную ха-

то получим уравнение прямой на комплексной плоскости, которая проходит через точку с координатами 1k , j 0 . Ее наклон зависит

от численного значения h .

С учетом (9.32) можно предложить следующую формулировку

графической интерпретации условий теоремы В.М. Попова. Нели-

нейная система будет абсолютно устойчивой, если можно подобрать хотя бы одну прямую, проходящую через точку комплексной плоскости с координатами 1k , j 0 так, чтобы видоизмененная ампли-

тудно-фазовая характеристика линейной части W * ( j ) находилась справа от этой прямой.

На рис. 9.5, а приведен пример расположения W * ( j ) , соответст-

вующего абсолютной устойчивости системы.

Отметим, что в этом случае нелинейная система будет устойчива при любой нелинейной характеристике, удовлетворяющей условию

(9.27).

Рис. 9.5. Пример выполнения (а) и невыполнения (б) условий абсолютной устойчивости

Если не выполняется условие (9.31), то видоизмененная амплитуд- но-фазовая характеристика линейной части W * ( j ) может иметь вид, показанный на рис. 9.5, б. В этом случае через характерную точку 1k , j 0 невозможно провести прямую, соответствующую графи-

ческой интерпретации теоремы.

Таким образом, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой, однако может быть асимптотически устойчивой при конкретной нелинейной характеристике. Для проверки этого условия следует воспользоваться, например, вторым методом Ляпунова.

9.4.3. ПРОЦЕДУРА ПРОВЕРКИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Процедура проверки абсолютной устойчивости включает следующие этапы.

1. Оценивается диапазон изменения однозначной статической нелинейной характеристики комбинированной системы, определяется значение коэффициента k .

2. Проверяется устойчивость линейной части системы, записывается выражение для ее амплитудно-фазовой характеристики Wл ( j )

но-фазовая характеристика линейной части системы W * ( j ) и выделяется характерная точка с координатами ( 1 k , j 0) .

5. Исследуется возможность построения прямой, проходящей через эту точку, правее которой должна располагаться W * ( j ) . Делается вывод об абсолютной устойчивости нелинейной системы.

A( p) (2 p 1)( p2 2 p 1) 2 p3 5 p2 4 p 1 0 .

Очевидно, что сомножители А(р) имеют корни с отрицательной вещественной частью, поэтому определим выражение для ее частотной характеристики:

Запишем теперь выражение для вещественной и мнимой частей видоизмененной частотной характеристики:

Рис. 9.7. Видоизмененная частотная характеристика к примеру 9.5

Таким образом, система с нелинейной характеристикой (рис. 9.7) будет абсолютно устойчива.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой главе мы рассмотрели способы анализа устойчивости нелинейных систем. Однако ни один из них не является универсальным, что обусловлено как сложностью описания самих систем, так и рассмотренными теоремами, с помощью которых можно определить лишь достаточные условия устойчивости.

Исследование нелинейной системы по линейному приближению позволяет оценить устойчивость лишь для малой окрестности точки равновесия и только в случае, когда линеаризованная система не находится на границе устойчивости. Выбор подходящей функции Ляпунова является своего рода искусством и зависит от вида описания системы и опыта исследователя [4]. Частотный метод В.М. Попова применим только для комбинированных систем с однозначной статической нелинейной характеристикой.

Следует заметить, что в настоящее время задача аналитической оценки устойчивости потеряла прежнюю актуальность, поскольку разработанное программное обеспечение дает возможность с достаточной

точностью вычислять решения дифференциальных уравнений (например, с помощью интегрированной среды MATLAB). Использование метода компьютерного моделирования посредством программы SIMULINK позволяет напрямую оценить свойства системы.

Тем не менее при проектировании нелинейных систем с заданными свойствами, т. е. для решения задачи синтеза, аппарат второго метода Ляпунова дает важные аналитические конструкции.

ЗА Д А Ч И

9.1.Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы

x1 x12 x2 ,

x2 x1 x1x2 .

9.2. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы

x 3xx x x2 0 .

9.3. Определить устойчивость системы по линейному приближению относительно одного из состояний равновесия:

9.4. Определить устойчивость системы по линейному приближению относительно одного из состояний равновесия при u 1 :

9.5. Определить устойчивость по линейному приближению относительно всех точек равновесия системы при u 2 :

330 Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

9.6. Определить устойчивость системы, уравнения состояния которой имеют вид

9.7. Определить устойчивость системы, уравнения состояния которой имеют вид

9.8. Определить устойчивость замкнутой системы вторым методом Ляпунова, если известна передаточная функция разомкнутой системы

вать устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рис. 9.8.

p

(–)

5

Рис. 9.8. Структурная схема системы к задаче 9.9