8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Свойства

Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой пересечения высот треугольника ABC, то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек.

Радиусы окружностей проходящих через любые три точки ортоцентрической системы равны.

Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).

Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.

Точки, симметричные ортоцентру относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.

Если О — центр описанной окружности ΔABC, то .

Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) треугольника ∆ABC — треугольник, вершины которого являются основаниями высот ∆ABC.

Свойства

1. . Ортоцентрический треугольник остроугольного треугольника АВС обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.

2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (следовательно ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).

3. Если точки A₁, B₁ и C₁ на сторонах соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC таковы, что

, и ,

то A₁B₁C₁ — ортотреугольник треугольника ABC.

4. Точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, и в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника.

5. Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

6. Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.

7. Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника.

8. Ортотреугольник – это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в этот треугольник .

9. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит.

9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники

• Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным.

• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

• Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

• Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d можно вычислить по формулам:

• ,где p – полупериметр, R – радиус окружности.

• Если a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,  – его полупериметр, а α – сумма его противоположных углов, то площадь S четырёхугольника равна

.

В качестве α здесь можно взять сумму любой из двух пар противоположных углов, результат от этого не зависит. В случае четырёхугольника, вписанного в окружность, эта формула принимает более простой вид:

;это равенство и называется формулой Брахмагупты. Если четырёхугольник имеет и описанную и вписанную окружности, то формула становится совсем короткой: .

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180⁰ (свойство вписанных четырехугольников).

1 Действительно, пусть четырехугольник АВСД вписан в окружность (рис.3.61).Тогда сумма его углов А и С измеряется полусуммой дуг ВСП и ВЛП, составляющих полную окружность, а потому равна 180°. И Рассмотрим первый случай. Продолжим тогда сторону ВА за точку А до пересечения с окружностью Р в точке М и проведем хорду МБ (рис.3.63).Четырехугольник ВСБМ вписан в окружность Р. Как доказано, АС+ АМ= 180^о. Но АА >АМ (как внешний угол треугольника БМА), а значит АА+АС>180^о. Получили противоречие. Следовательно, точка А не может лежать внутри круга, ограниченного окружностью Р.

Тэарэма (аб акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка). Каля любога правільнага многавуголь- ніка можна апісаць акружнасць, і прытым толькі адну. Дадзена: А ₁ А ₂А₃ ••• А_n —правільны многавугольнік. Даказаць: існуе пункт, роўнааддалены ад усіх вяршынь. Ён адзіны. Доказ. 1. Дакажам існаван- не. Няхай О — пункт перасячэння бісектрыс вуглоў А_г іА₂ (рыс. 61). Злучым пункт О адрэзкамі з астатнімі вяршынямі многаву- гольніка і дакажам, што ОА₁ = ОА₂ = ... = ОА_п. 1) Паколькі А₁ =А₂ то 1 = =3, значыць, трохвугольнік А₁А₂0 раўнабедраны і ОА_г = ОА₂. 2) Трохвугольнікі А₁А₂0 і А₃А₂О роўныя па дзвюх стара- нах і вуглу паміж імі (А₁А₂ = АзА₂, А₂О — агульная старана і 3 = 4), значыць, ОА₃ = ОА_г.

3)Аналагічна можна даказаць, што ОА₄ = ОА₂, ОА₅ = ОА₃ і г.д. 4) Такім чынам, ОА₁ = ОА₂ = ... = ОА_т, значыць, пункт О роўнааддалены ад усіх вяршынь многавугольніка. Таму акружнасць со (О, ОА₁) з'яўляецца апісанай каля многаву- гольніка.

2. Дакажам адзінкавасць. Для гэтага разгледзім якія-не- будзь тры вяршыні многавугольніка, напрыклад, А₁ А₂, А₃. Паколькі праз гэтыя пункты праходзіць толькі адна акруж- насць, то і каля многавугольніка А₁, А₂, ... А_n можна апісаць толькі адну акружнасць.