- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •1. Использование области определения уравнения.
- •2. Разложение на множители.
- •3. Замена переменной.
- •Функциональные методы
- •4. Использование ограниченности функций.
- •5. Использование монотонности функций.
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •IV тип уравнений
- •V тип уравнений
- •VI тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- •3 Способ: Использование определение модуля числа.
- •4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Системы и совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- •Свойства хорд
- •2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •4. Прямая Эйлера
- •5. Окружность Эйлера
- •6. Вневписанная окружность.
- •7. Центроид треугольника
- •8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •13. Теорема Птолемея.
- •14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- •15. Метод площадей.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.
6. Вневписанная окружность.
Опр1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью.
На рис. окружность касается стороны ВС(а) треугольника АВС и продолжений его сторон АС(b) и АВ(с). Центр окружности часто обозначают Iа (окружность касается стороны а), а радиус — rа .
T1. Центр вневписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис двух внешних углов и внутреннего угла треугольника, лежащего против стороны касания с окружностью. Дано: ∆АВС, Доказать: существует Iа — точка пересечения биссектрис углов CAB, МСВ, NBC, где М АС, МС + СА = AM , N АВ и NB + ВА = NA . Доказательство: 1) Проведем биссектрису угла CAB. Тогда любая ее точка равноудалена от сторон АС и АВ угла. 2) Проведем биссектрису угла МСВ. Точка Iа пересечения этой биссектрисы и биссектрисы угла CAB равноудалена от стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Значит, точка Iа лежит на биссектрисе угла CBN. 3) Таким образом, Iа — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла CAB и двух биссектрис внешних углов МСВ и NBC треугольника AВС.
Если .
T2. Точка касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Дано: ∆ABC, Iа — центр вневписанной окружности, IаК — радиус вневписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной ВС. Доказать: АС + СК = АВ + ВК. Доказательство. AT = АР, СТ = СК , ВК = BP как отрезки касательных, проведенные из одной точки. 2АТ = АТ + АР = AC + СТ + АВ + BP = =AC + CK + AB + BK = 2P,где P — полупериметр ∆ ABC . Значит, AT = P, но AT = AC + CT = = AC + CK = P. Таким образом, AC + CK = P = = AB + BK, т.е. точка К касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Для любого треугольника можно построить три вневписанные окружности.
Т3. Площадь S треугольника АВС равна . Док-во:
7. Центроид треугольника
Существование центроида (центра тяжести) треугольника и его основное свойство основано на следующей теореме.
Т1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Дано: ∆ABC, СС1, АА1, ВВ1 — медианы ∆ ABC. Доказать: и
. Д-во: Пусть М — точка пересечения медиан СС1, АА1 треугольника ABC. Отметим A2 — середину отрезка AM и С2 — середину отрезка СМ. Тогда A2C2 — средняя линия треугольника АМС. Значит, А2 С2 || АС
и A2C2 = 0,5*АС. С1А1 — средняя линия треугольника ABC. Значит, А1С1 || АС и А1С1 = 0,5*АС.
Четырехугольник А2С1А1С2 — параллелограмм, так как его противоположные стороны А1С1 и А2С2 равны и параллельны. Следовательно, А2М = МА1 и С2М = МC1. Это означает, что точки А2 и M делят медиану АА2 на три равные части, т. е. AM = 2МА2 . Аналогично СМ = 2MC1. Итак, точка М пересечения двух медиан АА2 и CC2 треугольника ABC делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Совершенно аналогично доказывается, что точка пересечения медиан АА1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.
На медиане АА1 такой точкой является точка М, следовательно, точка М и есть точка пересечения медиан АА1 и BB1.
Таким образом,
T2. Докажите, что отрезки, которые соединяют центроид с вершинами треугольника, делят его на три равновеликие части. Дано: ∆ABC , — его медианы.
Доказать: SAMB = SBMC = SAMC. Доказательство. и высота, проведенная из вершины В, у них общая. т.к. равны их основания и высота, проведенная из вершины М, у них общая. Тогда
Аналогичным образом доказывается, что SAMB = SAMC. Таким образом, SAMB = SAMC = SCMB .
T3. В треугольнике ABC со сторонами а, b, с , где та, тb, тс — медианы, приведенные соответственно к сторонам а, b, с треугольника. Доказательство: 1) Обозначим АА1 через та и вычислим та через a, b и с. 2) Продлим АА1 за точку А1 на отрезок А1А2, равный АА1. Тогда четырехугольник АВА2С — параллелограмм, так как его диагонали АА2 и ВС пересекаются и точкой пересечения А1 делятся пополам. Доказано, что т.е. .
Откуда .
Аналогично выводятся формулы для .