![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •1. Использование области определения уравнения.
- •2. Разложение на множители.
- •3. Замена переменной.
- •Функциональные методы
- •4. Использование ограниченности функций.
- •5. Использование монотонности функций.
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •IV тип уравнений
- •V тип уравнений
- •VI тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- •3 Способ: Использование определение модуля числа.
- •4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Системы и совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- •Свойства хорд
- •2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •4. Прямая Эйлера
- •5. Окружность Эйлера
- •6. Вневписанная окружность.
- •7. Центроид треугольника
- •8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •13. Теорема Птолемея.
- •14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- •15. Метод площадей.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.
16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся неравенства:
(1)
(2)
Для решения таких неравенств можно использовать, в частности, единичную окружность (рис. 1 – 4). Строят «граничные углы», соответствующие равенству в заданном неравенстве (т.е. в случае замены знаков неравенства на знак равенства). Исходя из смысла неравенства определяют множество углов, которые являются решением (если такие имеются). Для строгих неравенств (1) (соотв . рис. 1 – 4) решения приведены в таблице.
Решение простейших тригонометрических неравенств. С помощью единичной окружности нетрудно получить множества решений простейших тригонометрических неравенств.
Рис.1 Рис. 2
Неравенства |
Множества решений неравенств (kZ) |
|
|
|
|
tgx > a
tgx < a |
|
|
|
![](/html/2706/741/html_44azXr8GEY._JtS/img-94aMmc.png)
Рис. 3
Более сложные тригонометр. неравенства решаются сведением к простейшим (если это возможно).
Если
решают нестрогие неравенства, то в
соответствующие промежутки, указанные
во множестве решений (см. таблицу)
включают граничные точки. При этом
следует учитывать, что для неравенств,
содержащих
и
не включаются концы промежутка, которые
не входят в ОДЗ этих функций. Если
задано тригонометрическое неравенство,
которое не является простейшим, то его
решают вначале в зависимости от типа
(в частности, разложением на множители,
заменой переменной), а затем решают
полученные простейшие неравенства.
Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
Пример.
Решить неравенство
.
Решение.
Рассмотрим функцию
.
Она определена и непрерывна на множестве
всех действительных чисел. Функции
и
имеют периоды
и
соответственно. Следовательно, период
равен
.
Найдем нули функции:
;
,
откуда
Выберем
промежуток
,
длина которого равна периоду
.
Нетрудно заметить, что его концы являются
нулями функции (можно было выбрать любой
промежуток длины
,
но сделанный выбор позволит записать
ответ в более компактном виде).
Найдем
решения исходного неравенства на
выбранном интервале. Для этого отметим
на промежутке
нули функции и определим знак
на каждом из получившихся интервалов.
Функция
принимает положительные значения на
интервалах
.
Ответ:
Доказательство тригонометрических неравенств
При доказательстве тригонометрических неравенств применяют те же методы, что и при доказательстве алгебраических неравенств (вопросы 18,19). Однако, если в процессе доказательства тригонометрических неравенств используется синтетический метод, то в качестве опорных часто берутся следующие неравенства:
,
,
,
где
.
Иногда в качестве опорных используют
неравенства, вытекающие из монотонности
тригонометрических функций. Так, в
интервале
функции
и
возрастают, а функции
и
убывают. Поэтому если
,
то
,
,
,
.
Аналогичные неравенства можно получить
и для других промежутков монотонности
тригонометрических функций.