6. Вневписанная окружность.

Опр1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольни­ка и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью.

На рис. окружность касается стороны ВС(а) треугольника АВС и продолжений его сторон АС(b) и АВ(с). Центр окружности часто обозна­чают I_а (окружность касается стороны а), а радиус — r_а .

T1. Центр вневписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис двух внешних углов и внутренне­го угла треугольника, лежащего против стороны касания с окружностью. Дано: ∆АВС, Доказать: существует I_а — точка пересечения биссектрис углов CAB, МСВ, NBC, где М АС, МС + СА = AM , N АВ и NB + ВА = NA . Доказательство: 1) Проведем биссектрису угла CAB. Тогда любая ее точка равноудалена от сторон АС и АВ угла. 2) Проведем биссектрису угла МСВ. Точка I_а пересечения этой бис­сектрисы и биссектрисы угла CAB равноудалена от стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Значит, точка I_а лежит на биссектрисе угла CBN. 3) Таким образом, I_а — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла CAB и двух биссектрис внешних углов МСВ и NBC треугольни­ка AВС.

Если . 

T2. Точка касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Дано: ∆ABC, I_а — центр вневписанной окружности, I_аК — радиус вневписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной ВС. Доказать: АС + СК = АВ + ВК. Доказательство. AT = АР, СТ = СК , ВК = BP как отрезки касательных, проведен­ные из одной точки. 2АТ = АТ + АР = AC + СТ + АВ + BP = =AC + CK + AB + BK = 2P,где P — полупериметр ∆ ABC . Значит, AT = P, но AT = AC + CT = = AC + CK = P. Таким образом, AC + CK = P = = AB + BK, т.е. точка К касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Для любого треугольника можно построить три вневписанные окруж­ности.

Т3. Площадь S треугольника АВС равна . Док-во: 

7. Центроид треугольника

Существование центроида (центра тяжести) треугольника и его основ­ное свойство основано на следующей теореме.

Т1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Дано: ∆ABC, СС₁, АА₁, ВВ₁ — медианы ∆ ABC. Доказать: и

. Д-во: Пусть М — точка пересечения медиан СС₁, АА₁ треугольника ABC. Отметим A₂ — середину отрезка AM и С₂ — середину отрезка СМ. Тогда A₂C₂ — средняя линия треугольника АМС. Значит, А₂ С₂ || АС

и A₂C₂ = 0,5*АС. С₁А₁ — средняя линия треугольника ABC. Значит, А₁С₁ || АС и А₁С₁ = 0,5*АС.

Четырехугольник А₂С₁А₁С₂ — параллелограмм, так как его противо­положные стороны А₁С₁ и А₂С₂ равны и параллельны. Следовательно, А₂М = МА₁ и С₂М = МC₁. Это означает, что точки А₂ и M делят медиану АА₂ на три равные части, т. е. AM = 2МА₂ . Аналогично СМ = 2MC₁. Итак, точка М пересечения двух медиан АА₂ и CC₂ треугольника ABC делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин треу­гольника. Совершенно аналогично доказывается, что точка пересечения меди­ан АА₁ и BB₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вер­шин треугольника.

На медиане АА₁ такой точкой является точка М, следовательно, точка М и есть точка пересечения медиан АА₁ и BB_1.

Таким образом, 

T2. Докажите, что отрезки, которые соединяют центроид с вер­шинами треугольника, делят его на три равновеликие части. Дано: ∆ABC , — его медианы.

Доказать: S_AMB = S_BMC = S_AMC. Доказательство. и высота, проведенная из вершины В, у них общая. т.к. равны их основания и высота, проведенная из вершины М, у них общая. Тогда

Аналогичным образом доказывается, что S_AMB = S_AMC. Таким образом, S_AMB = S_AMC = S_CMB . 

T3. В треугольнике ABC со сторонами а, b, с , где т_а, т_b, т_с — медианы, при­веденные соответственно к сторонам а, b, с треугольника. Доказательство: 1) Обозначим АА₁ через т_а и вычислим т_а через a, b и с. 2) Продлим АА₁ за точку А₁ на отрезок А₁А₂, равный АА_1. Тогда четырехугольник АВА₂С — параллелограмм, так как его диагона­ли АА₂ и ВС пересекаются и точкой пересечения А₁ делятся пополам. Доказано, что т.е. .

Откуда .

Аналогично выводятся формулы для .