Формулы расчета средней ошибки выборки для различных способов формирования выборочной совокупности

• При повторной выборке =

• При бесповторной выборке =

• Если изучаемый признак количественный, то цель задачи – определение границ генерального среднего и

• Если изучаемый признак альтернативный, то цель задачи – определение границ генеральной доли и

  • Для собственно-случайной и механической выборки - выборочная дисперсия

  • Для типической выборки (единицы разбиты на группы или типы) - среднее арифметическое из всех групповых дисперсий (т. е. внутригрупповая дисперсия)

  • Для серийной выборки (выбираются не единицы совокупности, а целые серии единиц – коробки, пачки) n- число серий в выборке, N- число серий в совокупности, - межгрупповая дисперсия

Каждой конкретной выборке соответствует свое среднее выборочное значение признака (). Следовательно, для генеральной совокупности - это случайное число, которое появляется с некоторой вероятностью. Среднее значение признака для генеральной совокупности a – это постоянное число (оно неизвестно).

Н аибольшее отклонение  выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью , называется предельной ошибкой выборки.

Значения доверительной вероятности =Ф(t) для различных значений коэффициента доверия t вычисляются с помощью функции Лапласа Ф(t) (функции нормального распределения) и приводятся в специальных математических таблицах. В электронных таблицах Excel можно использовать встроенную статистическую функцию НОРМСТОБР.

По заданной вероятности =Ф(t) коэффициент доверия можно найти следующим образом: t=НОРМСТОБР(/2+0,5)

Предельная ошибка выборки вычисляется по формуле

Зная выборочную среднюю величину признака () и предельную ошибку выборки (), можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя (a):

Аналогично для генеральной доли (p):

Постановка задачи

Определить границы, в которых находится значение генерального признака (a или p), с заданной доверительной вероятностью .

Алгоритм решения

1. нахождение выборочного признака ( или w)

2. нахождение средней ошибки ()

3. определение, какому коэффициенту доверия t соответствует заданная вероятность =Ф(t) (по функции Лапласа)

4. нахождение предельной ошибки выборки ()

5. определение границ, в которых заключен показатель генеральной совокупности

( или )

Пример

Предположим, что в результате выборочного обследования жилищных условий жителей города, осуществленного на основе собственно-случайной повторной выборки, получен следующий ряд распределения:

Результаты выборочного обследования жилищных условий жителей города

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м2	До 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30 и более
Число жителей	8	95	204	270	210	130	83

Для определения средней ошибки выборки нам необходимо, прежде всего, рассчитать выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака.

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м2	Число жителей fi	Середина интервала xi	xifi	( xi-)2	(xi-)2fi
До 5,0 5,0 - 10,0 10,0 - 15,0 15,0 - 20,0 20,0 - 25,0 25,0 - 30,0 30,0 и более	8 95 204 270 210 130 83	2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5	20,0 712,5 2550,0 4725,0 4725,0 3575,0 2697,5	272,4 132,4 42,3 2,3 12,2 72,2 182,1	2179,3 12574,7 8632,3 611,6 2565,2 9381,5 15115,5
Итого	1000		19005	715,9	51060,0

Средняя ошибка выборки составит:

м²

Определим предельную ошибку выборки с вероятностью =0,954 (t=2):

м²

Установим границы генеральной средней:

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний размер общей площади, приходящейся на одного человека, в целом по городу лежит в пределах от 18,5 до 19,5 м².