Оценки неизвестных параметров

Если установлено, какое именно распределение имеет изучаемый признак в генеральной совокупности, возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Например, если известно, что признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (найти приближенное значение) математического ожидания (а) и среднего квадратического отклонения (). Эти два параметра полностью определяют нормальное распределение. Для распределения Пуассона необходимо оценить один параметр, которым оно определяется =а=M(X)=D(X).

Пусть по выборке X₁, X₂, …, X_n, полученной в результате n наблюдений (опытов), требуется оценить неизвестный параметр .

Заметим, что X₁, X₂, …, X_n – это случайные величины (X_i – результат i-го наблюдения), которые имеют такое же распределение, что и случайная величина X (вся генеральная совокупность). Конкретная выборка x₁, x₂, …, x_n (вариационный ряд) – это значения независимых случайных величин X₁, X₂, …, X_n.

Статистической оценкой * параметра  теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от выборки.

Оценка * параметра  - это значение некоторой функции (функции выборки, или статистики) от результатов наблюдений над случайной величиной X. Следовательно, оценка * параметра  - это статистика, которая близка к истинному значению параметра .

Несмещенной называют статистическую оценку *, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки.

M(*)=

Cмещенной называют статистическую оценку *, если M(*)≠.

Несмещенная оценка * параметра  называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , т. е. оценка * эффективна, если ее дисперсия минимальна.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т. е.

для >0 выполняется .

С увеличение объема выборки * все больше приближается к истинному значению параметра , т. е. практически достоверно *≈ .

Свойство состоятельности обязательно для любого правила оценивания. Несостоятельные оценки не используются.

Состоятельность оценки * может быть установлена с помощью следующей теоремы: «Если оценка * параметра  является несмещенной и D(*)0 при n, то * - состоятельная оценка».

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам.

Точечные оценки

• В качестве оценки генеральной средней (а) принимают выборочную среднюю (). Она является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Свойство устойчивости выборочных средних: если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой.

• Пусть требуется по данным выборки оценить (найти приближенное значение) неизвестную генеральную дисперсию ².

Выборочная дисперсия () является смещенной оценкой генеральной дисперсии (т. е. M(S²)≠²).

Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Следовательно, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию. При достаточно больших объемах выборки исправленная и выборочная дисперсии различаются незначительно. На практике исправленной дисперсией пользуются, если объем выборки меньше 30 (малая выборка).

• Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение, равное квадратному корню из исправленной дисперсии, но оно не является несмещенной оценкой.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика * служит оценкой неизвестного параметра . Тогда положительное число , такое что |*-| <  характеризует точность оценки. Чем меньше , тем точнее оценка *.

Надежностью (доверительной вероятностью)  оценки * называют вероятность, с которой выполняется неравенство |*-| < .

=P(|*-| < )

Обычно надежность  задается и имеет значение близкое к 1. Часто задают надежность 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительным называют интервал (*-; *+), который покрывает неизвестный параметр  с заданной надежностью . (См. Лабораторную работу №3)