1 Понятие функции одной переменной Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу Х ставится в соответствие единственное число Y, называется числовой функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y.
Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:
1) множество Х (область определения функции);
2) множество Y (область значений функции);
3) правило соответствия f (сама функция).
Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x3. В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y, пишут y = f(x). Здесь "х" называют независимой переменной или аргументом, а "y" -зависимой переменной (т.к. выражение типа x3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х) или функцией от х. О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у. Например, если х=2, то функция f(x) =x3 принимает значение у= f(2) =23 =8.
1.2. Способы задания функции одной переменной
Существуют несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x2.
Функция
математический объект представляет
собой бинарное отношение, удовлетворяющее
определенным условиям. Функцию можно
задать непосредственно как множество
упорядоченных пар, например: 
есть
функция 
.
этот способ совершенно непригоден для
функций на бесконечных множествах
(каковыми являются привычные вещественные
функции: степенная, линейная, показательная,
логарифмическая…
Для
задания функции пользуются выражением: 
.
Где , x есть
переменная- область определения функции,
а y -
область значений. Эта запись говорит о
наличии функциональной зависимости
между элементами множеств. х и y могут
пробегать любые множества объектов
любой природы. Аналогично можно
задавать числовые функции. Например: 
где
х пробегает множество вещественных
чисел задает некоторую функцию f. Важно
понимать, что само выражение 
не
является функцией. Функция как объект
представляет собой множество (упорядоченных
пар). А данное выражение как объект есть
равенство двух переменных. Оно задает
функцию, но не является ею.
Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".
Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.
Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y, то говорят , что задана функция y = f(x) с областью определения X : y = f(x), D(f) = X.
Областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество всех тех значений переменой x, при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл (одновременно).
Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.
областью
значений( изменений) функции называется
подмножество множества 
вида
-
и обозначается R(f), E(f)
2.
3 Бесконечно малые функции
Бесконечно малые и их свойства.
х ß
Определение. Функция α(х) называется бесконечно малой по базе ß,
если существует ℓιm α(х)=0.
ß
Свойства бесконечно малых.
1. Все бесконечно малые берутся по одной и той же базе.
2. Сумма конечного числа бесконечно малых при стремлении аргумента к
точке а является бесконечно малыми.
ε>0 
ß 
х
|α(х)| /
ß 
х
|(х)|/
х 
|α(х)(х)| |α(х)| |(х)|
lim [α(х) (х)] = 0
ß
3. Пусть α(х) бесконечно малая по базе ß, функция ƒ(х) финально ограничена
по базе ß, тогда произведение α(х) и ƒ(х) является бесконечно малой.
c ß: х |f(x)| c
c 
ß: х
|(х)| c
: х
|(х)f(х)|
= |(х)|
* |f(х)| c*c lim [(х)f(х)]
Следствие 1. Произведение константы на бесконечно малую является бесконечно малой с*α(х)
Следствие 2. Разность двух бесконечно малых является бесконечно малой
αβ=α+(-1)*β
Следствие 3. Если существует ℓιmƒ(х)=а, то α*ƒ - бесконечно малая
ß
Следствие 4. Пусть α(х)- бесконечно малая по базе ß, а ƒ(х) имеет
конечный предел по базе ß0, тогда α(х)/ƒ(х) бесконечно
малая
lim f (х) = a (х) f (х), 1/f (х) –финально ограничена
ß
(х) f (х) = (х)*1/f (х) – бесконечно малая
4 Бесконечно большие функции
Функция А(x) – бесконечно большая по базе ß, если сущест-
вует lim А(x) = .
ß
Утверждение. Бесконечно большая функция не может быть финально
ограниченной по базе ß.
Доказательство.
ß , с: х |f(x)| c
ß : х
|f(x)|
> c
, х 
с
< |f(х)| c ?!
( обратное утверждение неверно
)
ч.т.д
Утверждение. Если А(х) – бесконечно большая по базе ß,то 1/f (x) беско-
нечно большая; если (х) - бесконечно малая по этой же
базе и ß; (х) 0 х 1/(х) – бесконечно
малая.
Доказательство.
А(х) – бесконечно большая
, 1/ ß: х |А (х)| > 1/ 1/|А (х)| <
lim 1/ |А (х)| =0