1. Математическое описание работы сау с помощью передаточных функций.

Это особая форма преобразованного по Лапласу дифференциаль­ного уравнения. Она проста и удобна т.к. рассматривает не дифферен­циальное, а алгебраическое уравнение, которое значительно легче преобразовывать и решать.

Преобразование Лапласа позволяют представить функцию веще­ственного переменного (времени) как функцию комплексного пере­менного. Это осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа

где x(t) - называют оригиналом; х(р) - изображением. Если известно х(р) и требуется найти функцию времени, то оригинал находят по правилу обратного преобразования Лапласа, т.е.

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Умножение оригинала на постоянную величину а соответству­ет умножению изображения на а :

2. Суммирование оригиналов соответствует суммированию изо­бражений:

3. Дифференцированию оригиналов соответствуют следующие выражения для изображений:

При нулевых начальных условиях (t = 0) выходная величина х(0) и все её производные х'(0) ... х^n-1(0) = 0. Тогда:

4. Интегрирование оригинала соответствует делению изображе­ния на р

Пользуясь свойством Лапласа 1, 2, 3 при нулевых начальных ус­ловиях уравнение (*) приводится к виду:

Основная трудность не в решении уравнения (оно алгебраическое и единственная трудность - нахождение корней), а в переходе от ори­гинала к изображению и обратно. Прямое и обратное преобразование Лапласа осуществляют с помощью таблиц оригиналов и изображений [в специальных справочниках].

Уравнение алгебраическое (**) в изображениях несет такую же информацию о динамике системы, как и дифференциальное.

Отношение W(p) =у(р)/х(р) называют передаточной функцией

Передаточные функции получили очень широкое распростране­ние в САУ при расчете систем.

2. Статические и динамические характеристики сау

Работу любой САУ в установившемся и переходном режимах можно описать на основе характеристик: а) статических (установив­шийся режим); б) динамических (переходный режим).

а) статическая характеристика- зависимость выходного пара- метрау от входного х в установившемся режиме, т.е. у =fix)

Так как большинство реальных ОУ обладают нелинейными ста­тическими характеристиками, то на практике проводят их линеариза­цию, т.е. заменяют линейными. Линеаризация возможна в случае, ес­ли статическая характеристика непрерывна и имеет непрерывное из­менение производной во всём диапазоне.

рабочий диапазон

Для линеаризации нелинейной функции у = fix) её раскладывают в окрестности значения входной переменной х₀ в ряд Тейлора:

и приближенно заменяют двумя первыми членами т.е. кривую у заменяют прямой касательной к ней в точке х₀ с накло­ном, соответствующим f(x₀)

При задании статической характеристики графически для её ли­неаризации в рабочей точке х₀ проводят касательную так, чтобы Ayi= Ау2 в диапазоне реальных изменений входной величины.

б) динамическая характеристика - зависимость изменения вы­ходной переменой у во времени t при известном законе изменения входной переменой х. Динамические характеристики САУ её элемен­тов могут быть описаны (см. тему «Математическое описание САУ»):

а) дифференциальными уравнениями;

б) передаточными функциями;

в) временными характеристиками;

г) частотными характеристиками.