14 Правила дифференцирования.

Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, тогда:

(f(x)+-g(x))’=f’(x)+-g’(x) доказывается нахождением предела при х0.

(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x).

(Сf(x))’=Cf’(x)

16 Производная сложной функции

y=f(u) и u=g(x), то y=f(g(x)) – сложная функция, с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Теорема: пусть u=g(x) – дифференцируема в точке х0, а функция y=f(u)-дифференцируема в точке u0, где u0=g(x0), тогда y=f(g(x))-дифференцируема в точке х0 и её производная находится по формуле y’(x0)=f’(u0)g’(x0). Док-во: -*, т.к функция дифференцируема в точке u0, то её производная м.б. записана: , тогда её приращение м.б. представить

f(u0+u)-f(u0)=Au+(u)u, где (u)-бесконечно малая, А-производная в точке u0. f(g(x0+x))=f(u0+u), f(g(x0))=f(u0). 18 Понятие дифференциала

Приращение функции: f(x+x)-f(x)=f ’(x)x+(x)x.

Дифференциалом функции y=f(x) называется главная линейная часть приращения функции т.е. dy= f ’(x)x. Если f(x)=x, то dy=dx=(x)’ x=x.

Геометрический смысл дифференциала:

QN – величина дифференциала. Рассмотрим треугольник MNQ. tg=MN/MQ – производная в точке. NQ=f ’(x0) x.

Приближенное вычисление при помощи дифференциала:

f(x+x)-f(x)=f ’(x)x+(x)x, где (x)x – б.м.функция.

f(x+x)-f(x)f ’(x)x

19 Производная и дифференциал высших порядков

Понятие производной n-ого порядка: если y=f(x) дифференцируема, то f ’(x) – так же является функцией аргумента х, следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о её производной. Назовём производную второго порядка или второй производной производную от производной функции f ’’(x)=(f ’(x))’. Производная n-ого порядка от х:

Метод Стокса. Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.  На шарик, который падает в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести Р=(4/3);πr³ρg (ρ - плотность шарика), сила Архимеда F_A=(4/3);πr³ρ'g (ρ' - плотность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F=6πηrν, где r - радиус шарика, ν - его скорость. При равномерном движении шарика P=F_A+F или  Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жидкости (газа). 

Определение коэффициента поверхностного натяжения

В жидкостях средние расстояния между молекулами значительно меньше, чем в газах. Поэтому силы взаимодействия играют в жидкостяхсущественную роль. В поверхностном слое жидкости проявляютсяизбыточные межмолекулярные связи: молекулы (группы молекул),находящиеся в этом слое, испытывают направленную внутрь силупритяжения от молекул остальной части жидкости.Сила поверхностного натяжения направлена по касательной кповерхности жидкости, поэтому она не действует на стенки сосуда и тела,погруженные в жидкость. Еслмысленно разрезать поверхность жидкостипо какой-либо произвольной линии, то сила сцепления между обеимичастями ее будет тем больше, чем больше длина разреза l, т.е. сила

поверхностного натяжения F прямо пропорциональна длине: F = sl, гдеs – коэффициент пропорциональности, численно равный силеповерхностного натяжения, действующей на единицу длиныповерхностной пленки жидкости, и называемый коэффициентом поверхностного натяжения.Если поверхность жидкости имеет кривизну, то силыповерхностного натяжения вызывают некоторое давление, обусловленноеэтой кривизной.Рассмотрим кольцо с наружным диаметром D и шириной b,касающееся поверхности жидкости (рис. 24). При поднятии кольца над поверхностью жидкости между кольцом и поверхностью образуется пленка. Внешняя поверхность этой пленки тянет кольцо вниз с силой spD, а внутренняя поверхность – с силой sp(D – 2b).

Результирующая сила, удерживающая кольцо, равна spD+sp(D–2b)=2sp(D–b) В момент отрыва кольца от поверхности жидкости F=2sp(D–b),откуда 2p(D - b)s =FДиаметр и ширина кольца измеряются штангенциркулем, а силаповерхностного натяжения – с помощью динамометра. Если кольцоприводится в соприкосновение с поверхностью жидкости в сосуде, а затем

оно поднимается до тех пор, пока не оторвется от жидкости, то по динамометру в момент отрыва кольца можно определить величину силы F,необходимой для отрыва кольца от жидкостиЗная эту силу, коэффициент поверхностного натяжения определяют по формуле .

Ультразвук (УЗ) – упругие колебания и волны, частота которых превышает 15 – 20 кГц. Нижняя граница области УЗ-вых частот, отделяющая ее от области слышимого звука, определяется субъективными свойствами человеческого слуха и является условной, так как верхняя граница слухового восприятия у каждого человека своя. Верхняя граница УЗ-вых частот обусловлена физической природой упругих волн, которые могут распространяться лишь в материальной среде, т.е. при условии, что длина волны значительно больше длины свободного пробега молекул в газе или межатомных расстояний в жидкостях и твердых телах. В газах при нормальном давлении верхняя граница частот УЗ составляет ( 109 Гц, в жидкостях и твердых телах граничная частота достигает 1012-1013 Гц. В зависимости от длины волны и частоты УЗ обладает различными специфическими особенностями излучения, приема, распространения и применения, поэтому область УЗ-вых частот подразделяют на три области:

низкие УЗ-вые частоты (1,5(104 – 105 Гц);средние (105 – 107 Гц);высокие (107 – 109 Гц).Упругие волны с частотами 109 – 1013 Гц принято называть гиперзвуком.Ультразвук как упругие волны.

УЗ-вые волны (неслышимый звук) по своей природе не отличаются от упругих волн слышимого диапазона. В газах и жидкостях распространяются только продольные волны, а в твердых телах – продольные и сдвиговые.Распространение ультразвука подчиняется основным законам, общими для акустических волн любого диапазона частот. К основным законам распространения относятся законы отражения звука и преломления звука на границах различных сред, дифракции звука и рассеяния звука при наличии препятствий и неоднородностей в среде и неровностей на границах, законы волноводного распространения в ограниченных участках среды. Существенную роль при этом играет соотношение между длиной волны звука ( и геометрическим размером D – размером источника звука или препятствия на пути волны, размером неоднородностей среды. При D((( распространение звука вблизи препятствий происходит в основном по законам геометрической акустики (можно пользоваться законами отражения и преломления). Степень отклонения от геометрической картины распространения и необходимость учета дифракционных явлений определяются параметром [pic], где r – расстояние от точки наблюдения до объекта, вызывающего дифракцию.Скорость распространения УЗ-вых волн в неограниченной среде определяется характеристиками упругости и плотностью среды. В ограниченных средах на скорость распространения волн влияет наличие и характер границ, что приводит к частотной зависимости скорости (дисперсия скорости звука).

Вязкостью или внутренним трением называется свойство всех веществ оказывать сопротивление деформации сдвига, пропорциональное градиенту скорости. Возникновение сопротивления, обусловленное вязкостью, объясня-ется следующим образом. Представим себе две пластинки, разделенные сло-ем жидкости (рис. 1). Начнем перемещать верхнюю пластинку относительно нижней. Мысленно разобьем жидкость на тончайшие слои. Молекулы жид-кости, ближайшие к верхней пластинке, прилипают к ней и перемещаются вместе с ней с той же скоростью. Эти молекулы в свою очередь увлекают молекулы следующего слоя. Слой молекул, прилегающих непосредственно к нижней неподвижной пластине, остается в покое, а остальные скользя друг по другу со скоростями тем большими, чем больше их расстоя-ние от нижней пластинки. Вязкость жидкости проявляется в возникновении силы, препятствующей относительному сдвигу соприкасающихся слоев жид-кости. Чем больше меняется скорость жидкости при переходе от слоя к слою, тем больше сила внутреннего трения. Чтобы характеризовать величину изме-нения скорости, измерим разность V1 V2  V и расстояние  y между слоями. Тогда величинаПри ламинарном течении (т.е. без завихрений) сила внутреннего трения пропорциональна градиенту скорости: (закон Ньютона) Из закона Ньютона следует, что коэффициент динамической вязкости –это сила внутреннего трения, действующая между соседними слоями жидко-сти, имеющими единичные площадь контакта и градиент скорости. В системе СИ коэффициент вязкости измеряется в Па  с или в . Если выполняется условие ламинарности, т.е. слои жидкости движутся с различными скоростями и не смешиваются друг с другом, то коэффициент вязкости мож-но определить с помощью закона Пуазейля: Жидкостьявляетсяагрегатнымсостоянием вещества, промежуточным между газообразным и твердым. В газах молекулы движутся хаотично, по-этому нет никакой закономерности в их взаимном расположении. Для твер-дых тел наблюдается так называемый дальний порядок в расположении час-тиц, т.е. их упорядоченное расположение, повторяющееся на больших, по сравнению с межатомными, расстояниях. В жидкостях имеет место ближний порядок в расположении частиц, т.е. их упорядоченное расположение, повто-ряющееся на расстояниях, сравнимых с межатомным.