![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 2. Нелинейные модели потребления
- •2.1. Вводные замечания.
- •2.2. Основные понятия теории потребительского поведения.
- •2.4. Функция порядковой полезности и ее свойства и количественные характеристики. Модель потребительской изокванты.
- •2.5. Модель потребительского выбора. Основные соотношения теории предельной полезности благ.
- •2.6. Функция потребительского спроса. Коэффициенты эластичности; классификация благ в соответствии с коэффициентом эластичности.
- •2.7. Множитель Лагранжа модели потребительского выбора и его экономическое содержание.
- •2.8. Уравнение Слуцкого; эффект дохода и эффект замены. Графическая интерпретация уравнения Слуцкого.
- •2.9. Модель компенсированного бюджета потребителя.
- •2.10. Специальные классы функций спроса в моделях потребления.
- •2.11. Пример решения задачи по теме.
2.11. Пример решения задачи по теме.
Дана следующая трехфакторная функция порядковой полезности потребителя:
-
Доказать, что функция порядковой полезности является неоклассической.
-
Составить модель потребительского выбора и соответствующую ей задачу Лагранжа. Определить оптимальные по критерию максимума совокупной получаемой полезности объемы потребляемых благ. Для вектора рыночных цен на потребляемые блага
и потребительского бюджета в размере
определить численные значения требуемых показателей.
-
Проверить выполнение условия обратной зависимости предельной полезности денег от бюджета потребителя при потреблении им благ в оптимальных объемах.
-
Определить, являются ли рассматриваемые блага
ценными или малоценными для потребителя, а также нормальными или особенными.
-
Определить коэффициент перекрестной эластичности спроса на первое благо при изменении цены на третье и дать экономическую интерпретацию полученного числа.
Решение:
-
Докажем, что рассматриваемая функция порядковой полезности является неоклассической, включая определение степени ее однородности. Определим первые и вторые частные производные ФПП:
Таким образом,
рассматриваемая функция порядковой
полезности определена и неотрицательна
всюду на положительном ортанте
,
на котором существуют неотрицательные
первые и неположительные вторые частные
производные.
Рассматриваемая ФПП экономически непротиворечива:
(отсутствие
полезности при нулевом потреблении
благ).
Докажем, что ФПП является однородной:
Степень однородности
r
равна
.
Исходя из вышеизложенного можно сделать вывод о том, что ФПП принадлежит классу неоклассических.
-
Составим модель рационального потребительского выбора и соответствующую ей задачу Лагранжа. Определим оптимальные по критерию максимума совокупной получаемой полезности объемы потребляемых благ.
Модель оптимального потребительского выбора имеет следующий вид:
Т. к. и функционал,
и используемые ограничения являются
непрерывными и дважды дифференцируемыми
функциями на ортанте
,
то можно составить и провести анализ
соответствующей этой задаче функции
Лагранжа:
Необходимым
условием экстремума функции
является совместность следующей системы:
Определим необходимые частные производные:
и
построим систему уравнений, из которой
найдем соотношения для объемов
потребляемых благ
а также для множителя Лагранжа
:
Выразим
соответственно из первого и второго
уравнений системы (2.97), рассмотрим их
отношение, из которого выразим
:
Выразим
из
второго уравнений системы (2.97), подставим
полученный результат в третье уравнение
системы (2.97), откуда выразим
:
Подставим полученные результаты в четвертое уравнение системы (2.97):
Откуда:
Из третьего
уравнения системы (2.97) получим
:
На основе полученных соотношений определим численные значения требуемых параметров:
-
Проверим выполнение условия обратной зависимости предельной полезности денег от бюджета потребителя при потреблении им благ в оптимальных объемах.
Для
этого определим частную производную
функции
предельной полезности денег, зависящей
от объемов потребляемых благ и бюджета
потребителя, по бюджету:
Знак «-» полученного выражения свидетельствует об обратной зависимости анализируемых показателей.
-
Определим, являются ли рассматриваемые блага
ценными или малоценными для потребителя, а также нормальными или особенными.
Для того, чтобы
определить, является ли
- ое благо
ценным для потребителя, необходимо
найти знак коэффициента эластичности
спроса на него по бюджету потребителя
.
Второй сомножитель выражения (2.24) всегда
положителен; поэтому определим знак
первого сомножителя, вычислив частную
производную функции спроса на
- ое благо
по потребительскому бюджету индивида:
Знак «+» полученных
выражений свидетельствует о прямой
зависимости объемов потребляемых благ
от бюджета потребителя, т.е. спрос на
каждое благо растет при увеличении
бюджета
,
и такие блага являются ценными для
потребителя.
Для того, чтобы
определить, является ли
- ое благо
нормальным, необходимо найти знак
коэффициента эластичности спроса на
- ое благо
по цене на это же благо. Второй сомножитель
выражения (2.28) всегда положителен;
поэтому определим знак первого
сомножителя, вычислив частную производную
функции спроса на
- ое благо
по цене на это благо:
Знак «-» полученных выражений свидетельствует об обратной зависимости объемов потребляемых благ от их цены, т.е. спрос на все товары падает при увеличении их цены, и такие блага являются нормальными.
-
Определим коэффициент перекрестной эластичности спроса на первое благо при изменении цены на третье и дадим экономическую интерпретацию полученного числа.
Напомним, что
реакцию рыночного спроса на
-
ое благо на перекрестное изменение цены
на
-
ое отражает уравнение Слуцкого (2.46). В
рамках поставленной задачи уравнение
Слуцкого имеет вид:
где
- множитель Лагранжа соответствующей
задачи рационального потребительского
выбора,
- искомый коэффициент перекрестной
эластичности спроса на первое благо
при изменении цены на третье.
Получим аналитическое
выражение для
из (2.98):
Определим численные значения необходимых частных производных:
Определим численное значение требуемого коэффициента перекрестной эластичности спроса на первое благо при изменении цены на третье:
Т.е. при данных величине располагаемого дохода потребителя и уровнях рыночных цен на потребляемые блага для сохранения уровня получаемой полезности при увеличении (уменьшении) цены на третье благо на 1% индивиду следует увеличить (уменьшить) потребление первого блага приблизительно на 7,5%. Такие блага являются взаимозаменяющими.
1 Покупка этого набора возможна в случае, если нет изначальной предпосылки необходимости потратить весь наличный бюджет.
2
Функция
может быть определена с точностью до
линейного преобразования. Действительно,
если
- СФПП потребителя, то
(где a,
b
> 0) также СФПП.
3 Т.к. рынок – категория первичная по отношению к покупателю, то соотношение (2.17) определяет закон формирования потребительского спроса по отношению к рыночным ценам, но не наоборот.
4 Идея разложения общего эффекта изменения цены на эффект замены и эффект дохода впервые в экономической науке была представлена в статье российского экономиста и математика Е.Е. Слуцкого «К теории сбалансированного бюджета потребителя», опубликованной в итальянском «Giornale degli Economist» в 1915 г. Hо эта статья осталась для мировой науки незамеченной. Только благодаря работам Дж. Хикса и Р. Аллена, опубликованным значительно позже, научный мир был ознакомлен с этим результатом.
5 С математическим доказательством обозначенных свойств читатель может ознакомиться, например, в параграфе 3.2 [O4].
6 Эрнст Энгель (1821-1896 гг.) выяснил, что семьи с большим доходом тратят меньшую долю дохода на еду, что известно как закон Энгеля. В терминах современной микроэкономики, это означает, что эластичность дохода по затратам на еду в этом случае меньше, чем аналогичный показатель, в случае, если еда является потребностью, а не роскошью. Зависимость между доходом и расходами на рассматриваемый предмет потребления стала известной как кривая Энгеля.
7 По статистике примерно линейная зависимость между доходами и расходами на фрукты и ягоды. Трикотажные изделия, готовую одежду и рыбные продукты.
8 Так, с ростом доходов затраты на продукты питания растут медленнее, чем затраты на одежду, обувь, жилье и т.п. На известном этапе наступает дальнейшая смена, когда рост затрат на одежду отстает от роста затрат, например, на предметы культурно-бытового назначения, и т.д.
9 Как уже отмечалось выше, к основным факторам относятся активы потребителей, их личные качества (образование, способности и пр.), профессиональная принадлежность, национальность и др. Случайные (временные) компоненты – разного рода непредвиденные обстоятельства, меняющие шансы на получение дополнительного дохода.