Индивидуальные задания Вариант №1

По курсу «Математические методы компьютерного моделирования физических процессов»

Для студентов КТАС, МИППС

Задача №1

Известно, что при небольших скоростях сила сопротивления движению тела зависит от вязкости среды, (Па·с), скорости движения и размеров тела. Методами теории размерностей получите зависимость силы от указанных параметров. Сопоставьте полученную зависимость с законом Стокса.

Задача№2

Трамвай развивает силу тяги 1.5 т при массе 10 т. Сила сопротивления равна Av, где v–скорость; А=10³ кг/с. Через какое время от начала движения можно считать движение трамвая практически равномерным 0?

Задача№3

Космический объект подлетает к Луне. Когда расстояние до параметра а становится равным 210⁴ км, а прицельное расстояние р=710³ км, то скорость объекта v =1.510³м/с. Рассчитайте траекторию полета вблизи Луны. Масса Луны равна 7.310²² кг, радиус Луны– 1.710³ км.

Задача№4

Груз на невесомом жестком подвесе длиной l=0.5 м колеблется с большой амплитудой. Как зависит период колебаний от величины максимального угла отклонения? Как пересчитать эти результаты на случай маятника другой длины с помощью теории размерностей?

Указание: Для начальных отклонений близких к π система становится жесткой. Для обеспечения эффективности вычислительной процедуры, следует использовать солвер ode15s и подключить функцию, вычисляющую якобиан системы.

Задача№5

Изобразить на экране компьютера графики колебания массы m под действием нелинейной возвращающей силы. Построить фазовые траектории. Рассмотреть случаи 1) m=0.1, k=5, r=0, p=1; начальные значения x=10, v=0; 2) m=0.1, k=50, r=-10, p=0; начальные значения x=-2.49, v=0

Задача№6

Построить поле потенциала, созданного одноименными зарядами q₂ = q₁=10^-8 Кл, расположенные на расстоянии l=0,2 м. С помощью функции gradient построить поле напряженности. С помощью функций contour и quiver изобразить эти поля.

Задача№7

-частица с энергией 4 МэВ рассеивается тонкой золотой фольгой. Постройте траекторию частицы, приближающейся к ядру Au. Прицельное расстояние (параметр) p равно 210^-15 м. На какой угол  рассеивается частица. Как зависит угол  от параметра p?

Индивидуальные задания Вариант №2

По курсу «Математические методы компьютерного моделирования физических процессов»

Для студентов КТАС, МИППС

Задача №1

Известно, что при достаточно больших скоростях сила сопротивления движению тела определяется в основном инертными свойствами среды, характеризуемыми ее плотностью и практически не зависят от вязкости. Методами теории размерностей получите зависимость силы от плотности среды, размеров тела и скорости.

Задача№2

Парашютист массой m=70 кг совершает затяжной прыжок с высоты 7 км. Как долго парашютист может не раскрывать парашют. До земли должно оставаться не менее 1 км и не менее 0.5­–1 мин запаса времени. Сила сопротивления воздуха равна , где А=5 Нс/м, В=0,25 Нс²/м².

Задача№3

Пусть скорость тела перпендикулярна к направлению на на центр Луны. Прицельное расстояние р=510³ км. Как будет двигаться тело при скоростях 500, 1000 и 1500 м/c? Масса Луны равна 7.310²² кг, радиус Луны– 1.710³ км.

Задача№4

Привести уравнение колебаний математического маятника к безразмерному виду. Получить зависимость периода колебаний от амплитуды. Аппроксимировать полученную зависимость с помощью алгебраических выражений, используя пакет cftool. Как распространить полученные результаты на конкретные математические и физические маятники?

Указание: Для начальных отклонений близких к π система становится жесткой. Для обеспечения эффективности вычислительной процедуры, следует использовать солвер ode15s и подключить функцию, вычисляющую якобиан системы.

Задача№5

Батут – гимнастический снаряд, представляющий собой сильно натянутое пружинами полотно, которое слегка прогибается под тяжестью человека. Если прыгнуть на батут с некоторой высоты, он сильно прогнется, а затем подбросит гимнаста верх. Начертите зависимость положения гимнаста от времени. Кроме силы упругости батута, следует учесть еще силу трения в пружинах, равную .

Задача№6

Начертить силовые линии и эквипотенциали электрического поля созданного одноименными зарядами q₂ = q₁=10^-8 Кл, расположенные на расстоянии l=0,2 м

Задача№7

Простроить траекторию движение электрона, влетающего под углом, близким к нормальному, по отношению к однородному магнитному полю

Покажите, что короткая магнитная линза, длина которой много меньше ее радиуса, фокусирует пучок электронов, расходящихся из точки на оси соленоида с одинаковыми скоростями, но под разными небольшими углами к этой оси.

УКАЗАНИЕ: Тонкая короткая линза создает неоднородное магнитное поле с максимальным значением В_х в центре катушки, которая одинаково убывает по обе стороны от этой точки. Каков бы ни был закон убывания В_х, его можно разложить в ряд по степеням х: . Здесь предполагается, что , следовательно можно ограничиться только двумя членами. Выбор членов с четными степенями учитывает симметричный характер убывания в положительном и отрицательном направлениях. Приняв указанный закон изменения В_х, найдем В_y и В_z: Согласно условию соленоидальности магнитного поля . В цилиндрических координатах (r, x), при наличии аксиальной симметрии, это условие имеет следующий вид: , откуда . Интегрируя это равенство по r и, учитывая, что при r=0, rB_r=0, получаем: . Учитывая симметрию в радиальном направлении, находим

Задайте параметры указанной зависимости и постройте семейство траекторий.