- •1) Чебышева метод
- •2) Метод простой итерации
- •Применительно к слау
- •Алгоритм
- •Описание метода Обоснование
- •Геометрическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Ограничения
- •4) Метод Ньютона — Рафсона
- •Применительно к задачам о наименьших квадратах
- •5) Метод Гаусса — Ньютона
- •Постановка задачи
- •Описание метода
- •Алгоритм Описание
- •Алгоритм
- •8) Метод Крамера (прямой слау)
- •9) Метод обратной матрицы (прямой слау)
- •Критерий сходимости
- •13) Метод секущих
- •Описание
- •Условие сходимости
- •14) Метод бисекции
- •Обоснование
- •Описание алгоритма
- •16) Метод qr-разложение
- •17) Метод сингулярного разложения
Критерий сходимости
Если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень уравнения находится на отрезке , производные и на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и , то можно доказать, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при n→∞, то есть метод сходится и имеет при этом линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)
13) Метод секущих
Метод секущих - один из численных методов решения уравнений.
Описание
В качестве функции берут любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная не зависит также и от номера шага. Тогда формула итераций оказывается очень проста:
и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .
Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет
Иллюстрация последовательных приближений метода секущих.
Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения
откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .
На чертеже справа изображены итерации при в случае и в случае . Мы видим, что в первом случае меняющаяся точка уже на первом шаге "перепрыгивает" по другую сторону от корня , и итерации начинают приближаться к корню с другой стороны. Во втором случае последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.
Условие сходимости
Достаточное условие сходимости, таково:
Это неравенство может быть переписано в виде
откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых,
так как (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ), а во-вторых, когда при всех на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если
где . Таким образом, угловой коэффициент не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка может выскочить из рассматриваемой окрестности корня , и сходимости итераций к корню может не быть.
14) Метод бисекции
Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.