- •1) Чебышева метод
- •2) Метод простой итерации
- •Применительно к слау
- •Алгоритм
- •Описание метода Обоснование
- •Геометрическая интерпретация
- •Алгоритм
- •Ограничения
- •4) Метод Ньютона — Рафсона
- •Применительно к задачам о наименьших квадратах
- •5) Метод Гаусса — Ньютона
- •Постановка задачи
- •Описание метода
- •Алгоритм Описание
- •Алгоритм
- •8) Метод Крамера (прямой слау)
- •9) Метод обратной матрицы (прямой слау)
- •Критерий сходимости
- •13) Метод секущих
- •Описание
- •Условие сходимости
- •14) Метод бисекции
- •Обоснование
- •Описание алгоритма
- •16) Метод qr-разложение
- •17) Метод сингулярного разложения
1) Чебышева метод
- метод получения класса итерационных алгоритмов нахождения однократного действительного корня уравнения f(x)=0, (1), где f(х) - достаточно гладкая функция. В основе метода лежит формальное представление обратной к f(х)функции x=F(y)пo формуле Тейлора. Если - достаточно точное приближение для корня хуравнения (1), то где коэффициенты dn рекуррентно определяются из соотношения через коэффициенты Тейлора с n функции Полагая в (2) y=0, получают соотношение
Несколько членов справа в (3) дают формулы итерационного алгоритма; так при двух членах получается Ньютона метод, а при трех членах получается итерационный метод вида
С ростом числа учитываемых в (3) членов возрастает скорость сходимости х п к х(см. [2]). Метод может быть распространен на функциональные уравнения (см. [3]).
2) Метод простой итерации
В основе метода заложено понятие сжимающего отображения. Определим терминологию:
Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если
Тогда основная теорема будет выглядеть так:
Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Если — сжимающее отображение на , то:
|
|
Поясним смысл параметра . Согласно теореме Лагранжа имеем:
Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы
.........
и так далее, пока
Применительно к слау
Рассмотрим систему:
Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:
Сходимость метода будет осуществлять
Следует отметить, что для оценки сходимости вычисляется не определитель матрицы, а норма матрицы. Поэтому в данном случае поставлены двойные вертикальные черты, а не одинарные.
Алгоритм
-
Условие преобразуется к виду , где — сжимающая
-
Задаётся начальное приближение и точность
-
Вычисляется очередная итерация
-
Если , то и возврат к шагу 3.
-
Иначе и остановка.
3) Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Описание метода Обоснование
Чтобы численно решить уравнение методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме: , где — сжимающее отображение.
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде , тогда:
В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню , и что заданная функция непрерывна , окончательная формула для такова:
С учётом этого функция определяется выражением:
Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение[1], и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения .
Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения ). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение лучше предыдущего .