- •1.2. Определение характеристик систем массового обслуживания
- •1.2.1.Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •1.2.2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
- •Решение
- •1.2.3. Модель обслуживания машинного парка
- •Решение
- •Глава 2. Метод статистических испытаний
- •2.1. Теоретические основы метода
- •Моделирование случайных величин
- •2.2. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
- •2.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем
- •Решение
2.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем
Под сложной технической системой будем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.
Рассмотрим последовательность замен некоторого определенного элемента Z данного наименования. Эксплуатация каждого нового элемента начинается с момента окончания срока службы предыдущего. Первый элемент отрабатывает время t1 , второй - t2 , третий - t3 и т. д.
Случайная ситуация, сложившаяся в k-м опыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Временная эпюра случайной ситуации при k-м опыте в случае мгновенного восстановления отказавшей системы путем замены элемента
На рис. 2.1 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время t1k, выходит из строя в момент t1k = t1k. В этот момент система мгновенно восстанавливается (элемент заменяется) и снова работает случайное время t2k. По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выходит из строя в момент и вновь мгновенно восстанавливается.
Считают, что интервалы времени между отказами t1k, t2k, .... tpk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами f(t1), f(t2) , … , f(tp) .
Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом k-м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:
(2.3)
или
. (2.4)
где tik - время работы (наработка) элемента до i-го отказа в k–м опыте, час,
, .
tik - время работы (наработка) элемента между (i-1)-м и i-м отказами в k–й реализации, час, , .
Числа t1k, t2k, ... ,tpk образуют случайный поток, который называется процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока службы системы. Изучением таких процессов занимается теория восстановления.
Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа процессов:
простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами Fi (t) равны;
общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводом-изготовителем, отличается от вида функций распределения наработок элементов при последующих заменах, т. е. , i = 2, 3, 4,…
сложный, при котором все функции распределения Fi (t) различны.
Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления и ее дифференциальная характеристика - плотность восстановления , определяемые по следующим формулам:
; (2.5)
; (2.6)
где Fn(t) и fn(t) - соответственно плотность и функция распределения наработки до n-го отказа.
В случае независимости наработок между отказами функции распределения Fn(t) наработок до n-го отказа находятся путем последовательного применения правила свертки для суммы двух случайных величин:
; (2.7)
F1(t) = F(t) .
Следует отметить, что сложность получения аналитических выражений для и по формулам (2.5), (2.6) состоит в том, что свертка (2.7) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности и функции восстановления ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необходимости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета и является метод Монте-Карло.
Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим методом в случае простого, общего или сложного процессов производится в следующем порядке.
По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования, моделируются массивы случайных величин tik между (i-1)-м и i-м отказами. Размерность каждого массива равна N.
Далее вычисляются значения наработок до i-го отказа tik по следующим формулам:
; (2.8)
, (2.9)
где i – номер отказа,
k – номер реализации при моделировании,
p – максимальное число отказов элемента, получаемое в k-й реализации случайного процесса
Затем полученные случайные величины наработок tik группируются по интервалам времени.
Номера интервалов, в которые попадают моменты возникновения отказов t1k, t2k, ... ,tik, ... , tpk определяются по формуле:
, (2.10)
где - наименьшее целое число, не меньшее ;
ti - величина интервала времени
Параметр и ведущая функция потока отказов в j-м интервале времени определяется по следующим формулам:
; (2.11)
; (2.12)
где nij - число попаданий случайной наработки до i-го отказа tik в j-й интервал времени () за N реализаций.
; (2.13)
. (2.14)
где h - максимальное число интервалов времени.
Пример 2.1. Законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в следующей таблице:
№ отказа |
Закон распределения |
Параметры закона |
|
a() |
b |
||
1 |
Вейбула |
1,4 |
45,8 |
2 |
Экспоненциальный |
0,3 |
- |
Определите номера временных интервалов, на которых про изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (ti = 1 час).