Анализ устойчивости по дисперсионным соотношениям

Положим, что математическая модель замкнутой системы описывается дифференциальным уравнением вида

,

где - постоянные коэффициенты.

При этом будем полагать, что граничные условия однородны.

Решение уравнения будем искать в виде

,

где - комплексные временная и пространственная частоты.

Подставляя в исходное уравнение и преобразуя, получим дисперсионное уравнение

или

,

,

где - собственные значения данной краевой задачи (спектр данной краевой задачи), формируемые граничными условиями.

Если корни дисперсионного уравнения, определяющего временной характер процесса, имеют отрицательные действительные части, то процесс устойчив.

Если среди всех корней найдется хотя бы один, у которого имеется положительная действительная часть, то система неустойчива.

Так как , где - бесконечное множество действительных чисел, то получим бесконечное множество корней дисперсионного уравнения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Исследование динамических характеристик распределенных звеньев и блоков

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Построение и исследование динамических характеристик распределенных звеньев и блоков.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Поскольку процесс регулирования не зависит от физической природы регулируемой величины, то среди всех распределенных звеньев, составляющих систему регулирования и обладающих свойством пространственной инвариантности, можно выделить следующие элементарные звенья.

Пространственно-усилительное звено

Предположим, что имеется распределенное звено, у которого определены входное воздействие и функция выхода.

Пусть заданы изображения по Лапласу при нулевых начальных условиях входного воздействия и функции выхода , которые связаны соотношением:

, (3.1)

где - заданное число (общий коэффициент усиления);

x, y – пространственные координаты;

- лапласиан;

n₁ – весовой коэффициент ():

при n₁=1 ; при .

Передаточную функцию распределенного звена, определяемую отношением к , можно записать следующим образом:

. (3.2)

Распределенное звено, передаточная функция которого может быть представлена в виде (3.2), назовем пространственно-усилительным.

Для определения статических характеристик пространственно-усилительного звена представим входное воздействие в виде ряда Фурье

(3.3)

(где значения функции определяются в соответствии с (1.17)) и определим функцию выхода .

Рис. 3.1. Графики K.

Подставляя (3.3) в (3.1), получим:

. (3.4)

Преобразуя (3.4), придем к следующему результату:

. (3.5)

Коэффициент усиления пространственно-усилительного звена по каждой составляющей ряда входного воздействия имеет вид:

, (3.6)

.

Из (3.6) следует, что рассматриваемое звено обладает свойством пространственной инвариантности.

Представим (3.6) в следующей форме:

, (3.7)

где - дискретная функция . Значения функции зависят не только от , но и от .

Из (3.7) следует, что коэффициент усиления не зависит от . Таким образом, передаточная функция пространственно-усилительного звена может быть представлена бесконечной совокупностью коэффициентов усиления (3.7). Работать с бесконечным набором функций (3.7) не всегда удобно. Перейдем, как в п.2, от набора функций (3.7) к функциональной зависимости K(G).

Для этого заменим непрерывной функцией G с областью определения

. В этом случае, при изменении G от 0 до , охватятся все дискретные значения .

Выражение (3.7) с учетом выше изложенного материала, может быть записано в виде:

, .

На рис. 3.1 приведены графики изменения статического коэффициента усиления пространственно-усилительного звена (при этом полагалось E₁=1).

Передаточные функции распределенных звеньев, рассмотренные ниже, получены аналогично передаточной функции пространственно-усилительного звена.