Описание распределенных объектов дифференциальными уравнениями

Рассмотрим объект с распределенными параметрами, описываемый системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных:

(1.1)

,

где фазовые переменные ;

пространственные координаты;

время;

пространство изменения переменных

заданные целые числа;

линейные операторы.

Граничные условия для системы уравнений (1.1) полагаются однородными и заданы в виде:

, ,

,

,

где линейные операторы;

- граничные подобласти пространства ;

заданные числа;

фиксированные значения координаты

входные воздействия.

Функциями выхода объекта являются значения фазовых переменных при фиксированных значениях .

Пример. Математическая модель тепловых полей многослойной пластины.

Рис. 1.1. Многослойная пластина.

Математическая модель распространения тепла в многослойной пластине (см. рис.1.1.) может быть представлена в виде:

,

где температура в поле в м слое пластины;

заданные числа;

пространственные координаты; - время.

На границах соприкосновения слоев выполняются условия равенства температур и тепловых потоков:

,

.

На боковой поверхности многослойной пластины (см. рис. 1.1) имеют место условия:

,

,

где боковые поверхности пластины (см. рис. 1.1).

Входное воздействие распределено в -м слое пластины (фиксированное число ) и может быть задано в виде:

где - фиксированное значение z, .

Функцией выхода является значение температурного поля , где , - фиксированное значение параметра i и координаты z соответственно.

В большинстве практических задач управляющее воздействие распределено по граничной области. Однако встречаются задачи, в которых управляющее воздействие распределяется в подпространстве , т.е. может входить в правую часть уравнения (1.1).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Методы исследования устойчивости систем с распределенными параметрами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Исследовать распределенную систему на устойчивость

ЗАДАНИЯ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

Исследовать распределенную систему на устойчивость на примере заданной частотной характеристики

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Достаточное условие устойчивости распределенных систем

Положим, что замкнутую распределенную систему со скалярной функцией входа структурно можно представить бесконечной совокупностью независимых контуров.

Пусть передаточная функция по контуру управления (см. рис. 2.1) имеет вид:

, (2.1)

где , - целые аналитические функции.

Характеристическое уравнение по контуру

, . (2.2)

Решая уравнение (2.2), определим свободное движение в каждом контуре. Положим, что решение (2.2) найдено. Свободное движение в каждом контуре системы управления может быть определено из следующего соотношения:

, , (2.3)

где , - корни уравнения (2.2);

, - постоянные числа, определяемые начальными условиями.

Рис. 2.1 Система управления.

В силу того, что контуры системы управления независимы, свободное движение всей системы будет складываться из суммы свободных движений в каждом контуре системы управления, умноженных на соответствующие пространственные моды:

. (2.4)

Будем считать, что система с распределенными параметрами, представленная на рис. 2.1, передаточная функция которой по каждому контуру управления имеет вид (2.1), является устойчивой, если

.

Утверждение 1. Для устойчивости системы с распределенными параметрами, свободное движение которой представляется в виде (2.4.), достаточно, чтобы все корни имели отрицательные действительные части.

Доказательство:

Пусть

,

, (),

где - некоторая конечная область.

Полагая для всех (), ряд (2.4) промажорируем следующим рядом:

(2.5)

так как функция ограничена.

- максимальный по модулю элемент, принадлежащий области .

- минимальный по модулю элемент, принадлежащий спектру при ().

Рассмотрим функцию

.

Для нахождения рассмотрим усеченную функцию .

, (2.6)

где - целые числа, которые могут быть выражены через и коэффициенты .

,

,

.

Представим функцию (2.6) в виде

.

Преобразуя, получим:

.

Найдем предел функции .

(2.7)

Представим в виде:

где , .

Для исследования предела (2.7) определим производные функции и по

,

,

,

Тогда:

Так как , то по правилу Лопиталя

.

При функция равна функции , следовательно, .

Учитывая соотношение (2.5), получим:

,

что и требовалось доказать.

Если на пространственно-инвариантную систему подано векторное входное воздействие, то свободное движение системы, может быть определено из следующего соотношения: где

где - корни характеристического уравнения по контуру;

, () – постоянные числа, определяемые начальными условиями;

- свободное движение по i-му выходу системы.

В этом случае доказательство достаточного условия устойчивости аналогично приведенному выше.

Таким образом, для устойчивости пространственно-инвариантной системы достаточно, чтобы каждый контур был асимптотически устойчив.