Вопрос 6. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Опыт показал, что при вращении тела, например закручивании болта гаечным ключом, существенным оказывается понятие момента силы, а не только модуля силы и длины рычага. Вектором момента силы отно­сительно точки О (рис. 3.3) называют вектор М, модуль которого равен произ­ведению модуля силы F на ее плечо I

М = Frsina = Fℓ, Н·м.

Момент силы относительно неподвижной точки О представляет векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы на силу : .= []. Радиус-вектор г, проведенный из точки О в точку приложения силы, и сила F лежат в плоскости рисунка. Вектор момента силы перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется по правилу правого винта. Поворот головки винта в направлении силы вызывает перемещение винта в направлении вектора момента силы. В данном случае вектор момента силы направлен от нас и изображен на рисунке 3.3 кружком с крестиком. Точка О находится в центре кружка.

Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила.

Если сила приложена к одной из точек твердого тела, то вектор характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О. В реальных условиях под действием силы твердое тело вращается вокруг оси, проходящей через точку О. При этом все точки тела описывают окружности с центрами на этой оси и имеют одинаковую угловую скорость ω = dφ/dt и одинаковое ускорение ε = dω/dt. Проекция вектора на неподвижную ось z является скалярной физической величиной и называется моментом силы относительно оси z (рис. 3.4): M_z= []. Значение момента М_г не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Моментом инерции тела относительно оси вращения z называют сумму произведений масс п материальных точек этого тела на квадраты их расстояний до этой оси

кг·м².

Указанную сумму можно свести к интегралу J=∫r²dm . Здесь величину r следует понимать как функцию положения точки с координатами х, у, z.

По аналогии с моментом силы можно получить еще одну важную векторную характеристику вращающейся материальной точки — момент импульса материальной точки относительно точки О., где - радиус-вектор, определяющий положение материальной точки относительно точки О, а — импульс этой материальной точки. Модуль момента импульса материальной точки можно представить в виде произведения L = rpsina = рℓ, Дж·с.

Если материальная точка движется прямолинейно, то модуль момента импульса равен L = mvl, при движении материальной точки по окружности радиусом R момент импульса относительно центра окружности равен L = mvR.

Момент импульса твердого тела относительно оси z представляет собой сумму моментов импульса отдельных частиц

, Дж·с.

Используя формулу получим , то есть

L_z=J_zω, Дж·с. (1)

Следует обратить внимание на то, что у ω индекс не ставится, так как эта величина одинакова для всех точек тела.

Итак, момент импульса твердого тела относительно оси z равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1) по времени

Момент силы относительно оси z может быть преобразован к виду:

Таким образом, dLz/dt = M . Наряду с изложенным, имеет место векторное равенство .

Из равенства М_z =J_z dw /dt с учетом того, что dw/dt представляет собой угловое ускорение, следует основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси М_z= J_ze, H • м.

Очевидно, что угловое ускорение, сообщаемое телу моментом силы, тем больше, чем меньше момент инерции, то есть момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении. Но в отличие от массы, момент инерции конкретного тела может иметь множество значений соответственно множеству возможных осей вращения.

Кинетическая энергия одной частицы массой т_i вращающегося, тела, движущейся со скоростью v_i по окружности радиусом r_i , равна:

E_ki= т_i v_i²/2 = т_i r_i²w²/2= J_iw²/2, Дж,

где J_i — момент инерции материальной, точки; w — угловая скорость вращения тела. Суммируя энергии Е_кi всех материальных точек, получим формулу для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z: E_k= J_zw²/2, Дж.

В технике для равномерного хода прокатных станов, кораблей, тракторов и других машин широко используют маховое колесо, аккумулирующее кинетическую энергию вращения вала. К сведению, скорость вращения композитных роторных устройств (маховиков в том числе) достигает 600 тыс. оборотов в минуту. Это чрезвычайно высокая скорость. Прочность, необходимая при этом, обеспечена композитом.

Если тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, то его кинетическая энергия определяется следующим образом:

E_k = mv²/2 + J_zw²/2, Дж.

Работа вращающего момента силы, приложенной к телу, равна изменению кинетической энергии тела А = J_z/2 — J_z /2, Дж.