Вопрос 5. Законы сохранения.

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из п материальных точек. Оговоримся, что понятие изолированной системы условно. Следует это из невозможности полностью изолировать систему от окружающей среды. Материальные точки системы находятся в состоянии постоянного взаимодействия. Сталкиваясь друг с другом, они изменяют свой импульс. При этом согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими точками, будут равны по модулю и противоположны по направлению. Таким образом, геометрическая сумма сил взаимодействия между материальными точками равна нулю. Рассматривая взаимодействие тел в течение бесконечно малого промежутка времени dt, получим

где — импульс системы. Это значит, что векторная сумма импульсов всех тел постоянна во времени.

Любое из приведенных выражений следует рассматривать как закон сохранения импульса: импульс изолированной системы есть величина постоянная. Закон справедлив для любого промежутка времени. Закон сохранения импульса справедлив не только в классической, но и в квантовой механике. Следовательно, этот закон принадлежит к числу фундаментальных (универсальных) физических законов.

Закон сохранения импульса является следствием свойств симметрии пространства, его однородности. Однородность пространства состоит в том, что физические свойства изолированной системы не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Иллюстрацией закона сохранения импульса могут быть:

1. Явление откатки (отдачи) орудия (ружья) при выстреле. Здесь систему «орудие — снаряд» можно считать изолированной. Поскольку при выстреле компоненты системы снаряд и орудие разлетаются только вдоль общей кривой, то для векторов скоростей снаряда v и орудия v₀ закон сохранения импульса имеет вид mv + m_ov_o = 0, где т и щ — массы снаряда и орудия;

2. Явление «непрерывной отдачи», происходящее в реактивном двигателе. В этом случае изолированной системой являются летательный аппарат с двигателем и вытекающий из его сопла поток газообразных продуктов сгорания. Очевидна аналогия с предыдущим примером: летательный аппарат как орудие, непрерывно стреляющее струей газов. Однако в отличие от выше рассмотренного случая масса летательного аппарата уменьшается по мере расходования горючего. Но если иметь в виду ракету, то это единственное устройство, способное приходить в движение и изменять траекторию без опоры, то есть без посредства внешней среды. Поэтому реактивный двигатель является единственно возможным для космических аппаратов.

Реактивно перемещаются медузы, спруты, моллюски, кальмары (до 70 км/ч). Природным реактивным снарядом является «бешеный огурец», растущий в Южном Крыму;

3. Центральный абсолютно неупругий удар двух шаров. Шары с разной скоростью движутся в одном направлении. После соударения они движутся как единое целое.

Момент импульса материальной точки относительно точки О., где - радиус-вектор, определяющий положение материальной точки относительно точки О, а — импульс этой материальной точки. Модуль момента импульса материальной точки можно представить в виде произведения L = rpsina = рℓ, Дж·с.

Если материальная точка движется прямолинейно, то модуль момента импульса равен L = mvl, при движении материальной точки по окружности радиусом R момент импульса относительно центра окружности равен L = mvR.

Момент импульса твердого тела относительно оси z представляет собой сумму моментов импульса отдельных частиц

, Дж·с.

Используя формулу получим , то есть

L_z=J_zω, Дж·с.

Следует обратить внимание на то, что у ω индекс не ставится, так как эта величина одинакова для всех точек тела.

Итак, момент импульса твердого тела относительно оси z равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на его угловую скорость.

Момент силы относительно оси z может быть преобразован к виду:

Таким образом, dLz/dt = M . Наряду с изложенным, имеет место векторное равенство .

В изолированной системе момент внешних сил отсутствует, то есть = 0 и , а следовательно, момент импульса изолированной системы остается постоянным: const.

Подобно законам сохранения энергии и импульса, закон сохранения момента импульса принадлежит к числу фундаментальных законов природы. Моментом импульса обладают не только движущиеся макроскопические системы, но и отдельные элементарные частицы, а также атомные ядра, атомы, их ассоциативные комплексы. Причем некоторые элементарные частицы и их системы могут иметь моменты импульса, не связанные с движением в пространстве, и называют их спинами.

В справедливости закона сохранения момента импульса можно убедиться на опыте с уравновешенным гироскопом. Он предоставляет собой вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого способна изменять свое направление в пространстве относительно некоторой неподвижной точки, называемой центром подвеса. Если центр подвеса совпадает с центром тяжести гироскопа, то результирующий момент сил тяжести всех частей по отношению к центру подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным. Так как гироскоп симметричен, то его момент импульса направлен вдоль основной оси вращения, проходящей через диск. Поэтому при любом положении гироскопа ориентация его основной оси вращения остается неизменной.

Справедливость закона сохранения момента импульса подтверждается опытом со скамьей Жуковского. Горизонтальная круглая скамья вращается без трения. На ней стоит человек и держит в вытянутых руках гантели — (J_o + 2mг₁²)ω₁ = const, где J_o — момент инерции человека и скамьи; m — масса одной гантели. Приближая гантели к груди, человек уменьшает момент инерции всей системы, а угловая скорость ее вращения должна при этом возрастать — (J + 2mr₂²)ω₂= (J₀+ 2тr₁²)ω₁, где 2mr₁² и 2mr₂² — моменты инерции гантелей в первом и втором положениях относительно оси вращения; г₁ и г₂ — расстояния от гантелей до оси вращения; ω₁ и ω₂, — угловые скорости вращения системы соответственно в состояниях 1 и 2.

Вращающаяся с большой скоростью масса сохраняет неизменной ось своего вращения, то есть сохраняет вектор момента импульса. Этим обусловлена устойчивость положения земной оси, продольной оси летящего снаряда, пули, вертикальная устойчивость движущегося велосипеда.

Закон сохранения энергии: энергия не возникает ниоткуда и никуда не исчезает, она лишь переходит из одного вида энергии в другой.