Глава 3. Анализ временных рядов

1. Понятие временного ряда

Статистическое описание развития во времени экономических процессов и явлений осуществляется с помощью так называемых временных рядов.

Временным (динамическим) рядом называется последовательность значений того или иного показателя, расположенных в хронологическом порядке. Отдельные значения такого показателя называются уровнями временного ряда.

Временные ряды, образованные показателями, характеризующие экономическое явление на определенные моменты времени t₁, t₂,…,t_n называются моментными. Если же уровни ряда относятся к определенным промежуткам времени, например, [t₀,t₁], (t₁,t₂],…,(t_n-1,t_n], то такие ряды называются интервальными.

Временные ряды могут быть образованы как из абсолютных значений экономических показателей, так и из средних или относительных величин.

Будем обозначать его последовательностью

y₁, y₂, …, y_n,

считая, что уровни y_t относятся либо к n равноотстоящим моментам времени, либо к n одинаковым последовательным временным промежуткам, для удобства перенумерованных целыми числами 1, 2, …, n.

Значения временного ряда формируются под воздействием большого числа содержательных факторов. Однако общий результат такого воздействия связывается исключительно с ходом времени.

При построении математической модели временного ряда принято выделять в нем четыре структурно образующих элемента:

• тренд u_t, под которым понимается изменение, определяющее направление развития процесса, основную тенденцию временного ряда;

• сезонную компоненту s_t, отражающую периодический характер колебаний процесса в течение одного года;

• циклическую компоненту c_t, обусловленную действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы (как правило, период циклических колебаний составляет несколько лет);

• случайную компоненту _t, неподдающуюся учету и регистрации.

Трендовая, сезонная и циклическая компоненты образуют регулярную (систематическую) составляющую временного ряда. Присутствие любой из этих компонент во временном ряде вовсе не обязательно. В то же время случайная нерегулярная компонента является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению.

Временной ряд называется стационарным, если его регулярная составляющая постоянна.

Как правило, различают два типа соединения выделенных компонент и соответственно два типа моделей временного ряда - мультипликативную:

и аддитивную модель:

.

Отметим, что с помощью операции логарифмирования мультипликативная модель может быть сведена к аддитивной модели:

3.2. Предварительный анализ временного ряда

Предварительный анализ временных рядов заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда, а также в определении наличия тренда в исходном временном ряде.

1. Выявление аномальных уровней

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Однако, кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко – ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней могут использоваться различные методы. Рассмотрим один из них – метод Ирвина:

а) для данного временного ряда последовательно вычисляются:

среднее значение ,

исправленное среднеквадратическое отклонение ,

значения , t=2, 3, …,n;

б) Расчетные значения ₂, ₃ и т. д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина _, и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение y_t уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости =0,05 приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Предельные значения критерия Ирвина

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

После выявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин их возникновения. Если установлено, что они вызваны ошибками первого рода, то они устраняются либо заменой аномальных уровней простой средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой аппроксимирующей данный ряд (см. параграф 3.3.).