Сочетания.

Сочетанием, содержащим k элементов, выбранных из n имеющихся, называется любой неупорядоченный набор, содержащий k элементов, выбранных из n имеющихся.

В неупорядоченном наборе порядок перечисления элементов не важен.

Пример 1.

Из элементов A, B, C, D, E можно составить 10 сочетаний из 5 по 3:

{A, B, C}; {A, B, D}; {A, B, E}; {A, C, D}; {A, C, E}; {A, D,E}; {B, C, D}; {B, C, E}; {B, D, E}; {C, D, E}.

Формула. Число сочетаний обозначается символом С_n^k

Любому неупорядоченному набору сочетаний из k элементов можно поставить в соответствие k! упорядоченных наборов перестановок.

Следовательно, число сочетаний равно:

=

Числа = называются биномиальными коэффициентами.

Некоторые свойства биномиальных коэффициентов:

1. = = 1.

2. = = 1.

3. = = n.

4. = = .

5. = = С_n^k.

6. = + = =

= = = .

Пример 2.

Сколькими способами 8 человек можно распределить по двум комнатам, если в каждой должно находится не менее трех человек?

Решение.

Варианты распределения людей по комнатам:

1 комната: 3; 4; 5;

2 комната: 5; 4; 3.

Надо указать какие именно люди будут в первой и во второй комнатах

( порядок перечисления не важен).

Для этого надо выполнить 2 действия:

• выбрать людей, которые будут находиться в первой комнате;

• отправить оставшихся во вторую.

По принципу умножения:

а) n₁ = = = 56 × 1 = 56;

б) n₂ = = = 70 × 1 = 70;

в) n₃ = = = 56 × 1 = 56;

Число всех способов равна: 56 + 70 + 56 = 182 (способа).

Пример 3.

Сколько всего существует последовательностей, состоящих из 0 и 1, в которых m нулей, n единиц.

Например, если m = 2, n = 3:

01101, 00111, 10011, 11100, 10101 и т.д.

Чтобы задать такую последовательность, надо выполнить одно действие:

• указать места, на которых стоят нули (места, на которых стоят единицы).

То есть нужно из (n + m) имеющихся мест выбрать в любом порядке n мест для 1(или m мест для 0).

Число способов выполнить это действие равно:

– это ответ.

Для m = 2, n = 3 = = 10 (последовательностей).

Перестановки с повторениями.

Перестановка с повторениями содержит:

n₁ – одинаковых элементов 1-го вида;

n₂ – одинаковых элементов 2-го вида;

. . .

n_k – одинаковых элементов k-го вида,

n = n₁ + n₂ +…+ n_k

Обозначение:

Пример 1.

Дана последовательность 112314123,

ее перестановкой является последовательность 231141231.

Если переставить одинаковые элементы, то перестановка не изменится, если разные – меняется.

Чтобы задать перестановку с повторениями нужно выполнить k действий:

• выбрать n₁ мест из n имеющихся для элементов 1-го вида (число способов равно );

• выбрать n₂ мест из (n - 1) имеющихся для элементов 1-го вида (число способов равно );

и т. д.

• поставить элементы k-го вида на оставшиеся свободные места.

По принципу умножения:

= =

Пример 2.

Сколько чисел, больших 3×10⁶ можно составить из цифр 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0?

Из условия следует, что цифра 3 должна быть на первом месте, оставшиеся 6 цифр числа образует перестановку с повторениями:

P_2,3,1 = = = 60.