Условие задачи
При заданных пяти вариантах допустимой ошибки e заданным численным методом вычислить приближенное значение корня функционального уравнения вида f (x) = 0, если известно, что это уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].
В работе должно быть предусмотрено:
проверка корректности введенных значений исходных данных (выполнение условия a < b, выполнение условия e > 0),
перехват и обработка ошибки времени выполнения, когда строку введенных символов невозможно интерпретировать как число, построение графика функции в книге Excelle с помощью процедуры VBA.
Условие заданного численного метода соответствует третьему варианту:
F(x) = 3x – 4ln x –5 при х є [ 2; 4]
Вариант допустимой ошибки (при n=5):
1e–1; 1e–2; 1e–3; 1e–4; 1e–5; Заданным численным методом считать метод Ньютона, согласно варианту.
2
Описание
заданного численного метода
Рисунок 1 поясняет метод Ньютона. Пусть имеется начальное приближение к корню, которое обозначим xn.
|
|
|
Рисунок 1 - Графическая иллюстрация метода Ньютона |
Проведем касательную к графику y = f (x) в точке с координатами (xn, f (xn)). Новое приближение к корню, которое мы будем называть следующим приближением, xs получим как точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Это правило приводит к следующей расчетной формуле:
При соблюдении некоторых условий (они называются условиями сходимости), которые будут перечислены ниже, строго доказывается, что приближение xs находится ближе к корню, чем приближение xn.
Теперь заменим значение начального приближения xn на значение только что полученного приближения xs . Мы пришли к той же самой задаче, но теперь начальное приближение расположено ближе к корню, чем до его изменения на xs. Каждое такое улучшение приближения к корню за счет вычисления следующего приближения называется итерацией.
Сколько
нужно выполнить итераций, чтобы нас
могла устроить точность приближение
xs
к значению
корня x*?
Обычно считают, что требуемая точность достигнута, если после вычисления xs при выполнении очередной итерации соблюдается условие
|xs - xn |< e . (2)
При выполнении неравенства (2) итерационный процесс уточнения корня следует прекратить и в качестве искомого приближенного значения корня взять
xw = xs . (3)
При выполнении первой итерации в качестве начального приближения xn можно взять любую точку отрезка [a, b], например его середину:
xn = (a+b)/2. (4)
Смысл условий сходимости метода Ньютона состоит в том, что начальное приближение xn, используемое при выполнении первой итерации, должно быть не слишком далеко от корня, а производная f’(x) должна изменяется на отрезке [a, b] не очень быстро и не обращаться в ноль ни в одной точке отрезка [a, b]. Мы будем считать, что они выполняются.
Метод Ньютона является наиболее быстрым среди численных методов вычисления корня функционального уравнения. На практике необходимая точность достигается буквально после выполнения нескольких (не более 10) итераций.
Формулы (1) – (4) должны быть применены в алгоритме вычисления корня по методу Ньютона. Для вычисления входящей в формулу (1) производной f‘(x) следует найти ее аналитическое выражение, применить в программе функцию для вычисления значения производной.